что отражает величина достоверности аппроксимации

Корреляция и регрессия

Когда вы исследуете закономерности в своих данных, как вы можете определить, насколько тесно связаны между собой две переменные? Можете ли вы использовать одну переменную для предсказания другой?

В этом модуле вы познакомитесь с концепциями корреляции и регрессии, которые могут помочь вам в дальнейшем изучении, понимании и обмене данными.

Цели

По завершении этого модуля вы сможете:

Раздел 1. Корреляция

В этом модуле вы познакомитесь с двумя концепциями, которые помогут вам в изучении взаимосвязей между переменными: корреляция и регрессия. Начнем с корреляции.

Что такое корреляция?

Корреляция – это техника, которая может показать, насколько сильно связаны пары количественных переменных. Например, количество ежедневно потребляемых калорий и масса тела взаимосвязаны, но эта связь не абсолютная.

Многие из нас знают кого-то, кто очень худой, несмотря на то, что он/она регулярно потребляет большое количество калорий, и мы также знаем кого-то, у кого есть проблемы с лишним весом, даже когда он/она сидит на диете с пониженным содержанием калорий.

Однако средний вес людей, потребляющих 2000 калорий в день, будет меньшим, чем средний вес людей, потребляющих 2500, а их средний вес будет еще меньше, чем у людей, потребляющих 3000, и так далее.

Корреляция может сказать вам, насколько тесно разница в весе людей связана с количеством потребляемых калорий.

Корреляция между весом и потреблением калорий – это простой пример, но иногда данные, с которыми вы работаете, могут содержать корреляции, которых вы никак не ожидаете. А иногда вы можете подозревать корреляции, не зная, какие из них самые сильные. Корреляционный анализ помогает лучше понять связи в ваших данных.

Диаграммы разброса или Точечные диаграммы используются для графического представления взаимосвязей между количественными показателями. Диаграмма показывает данные и позволяет нам проверить свои предположения, прежде чем устанавливать корреляции. Глядя на взаимосвязь между продажами и маркетингом, можно предположить наличие в них корреляции. По мере того, как одна переменная растет, другая, похоже, тоже увеличивается.

Диаграмма, указывающая на корреляцию между двумя количественными переменными

Корреляция против причинно-следственной связи

Теперь вы знаете, как определяется корреляция и как ее можно представить графически. Теперь давайте посмотрим, как понимать корреляцию.

Во-первых, важно понимать, что корреляция никогда не доказывает наличие причинно-следственной связи.

Корреляция говорит нам только о том, насколько сильно пара количественных переменных линейно связана. Она не объясняет, как и почему.

Например, продажи кондиционеров коррелируют с продажами солнцезащитных кремов. Люди покупают кондиционеры, потому что они купили солнцезащитный крем, или наоборот? Нет. Причина обеих покупок явно в чем-то другом, в данном случае – в жаркой погоде.

Измерение корреляции

Корреляция Пирсона, также называемая коэффициентом корреляции, используется для измерения силы и направления (положительного или отрицательного) линейной связи между двумя количественными переменными. Когда корреляция измеряется в выборке данных, используется буква r. Критерий Пирсона r может находиться в диапазоне от –1 до 1.

Когда r = 1, существует идеальная положительная линейная связь между переменными, это означает, что обе переменные идеально коррелируют с увеличением значений. Когда r = –1, существует идеальная отрицательная линейная связь между переменными, это означает, что обе переменные идеально коррелируют при уменьшении значений. Когда r = 0, линейная связь между переменными не наблюдается.

На графиках разброса ниже показаны корреляции, где r = 1, r = –1 и r = 0.

Переверните каждую карту ниже, чтобы увидеть значение для этой совокупности.

Идеальная положительная корреляция

Когда r = 1, есть идеальная положительная линейная связь между переменными, и это означает, что обе переменные идеально коррелируют с увеличением значений.

Идеальная отрицательная корреляция

Когда r = –1, существует идеальная отрицательная линейная связь между переменными, и это означает, что обе переменные идеально коррелируют при уменьшении значений.

Нет линейной корреляции

Когда r = 0, линейная зависимость между переменными не наблюдается.

С реальными данными вы никогда не увидите значений r «–1», «0» или «1».

Как правило, чем ближе r к 1 или –1, тем сильнее корреляция, это показано в следующей таблице.

Сила корреляции

Очень сильная корреляция

Очень слабая корреляция или ее нет вообще

Условие корреляции

Чтобы корреляции были значимыми, они должны использовать количественные переменные, и описывать линейные отношения, при этом не может быть выбросов.

В 1973 году статистик по имени Фрэнсис Анскомб разработал показатель «квартет Анскомба», он показывает важность визуального представления данных в виде графиков, а не простого выполнения статистических тестов.

Выделенный график разброса в верхнем левом углу – единственный, который удовлетворяет условиям корреляции.

Четыре визуализации в его квартете показывают одну и ту же линию тренда, поэтому значение r будет одинаковым для всех четырех.

Что вы заметили? Только один из графиков рассеяния соответствует критериям линейности и отсутствия выбросов.

Другими словами, мы не должны проводить корреляции на трех из четырех примерах, потому что не имеет смысла устанавливать сильные отношения.

Проверка знаний

Силу корреляции при значении r, равному –0,52, лучше всего можно описать как:

Резюме

Итак, вы ознакомились с концепциями статистической техники корреляции. На следующем уроке вы узнаете о линейной регрессии.

Раздел 2. Линейная регрессия

На предыдущем уроке вы узнали, что корреляция относится к направлению (положительному или отрицательному) и силе связи (от очень сильной до очень слабой) между двумя количественными переменными.

Линейная регрессия также показывает направление и силу взаимосвязи между двумя числовыми переменными, но регрессия использует наиболее подходящую прямую линию, проходящую через точки на диаграмме рассеяния, чтобы предсказать, как X вызывает изменение Y. При корреляции значения X и Y взаимозаменяемы. При регрессии результаты анализа изменятся, если поменять местами X и Y.

Диаграмма рассеяния с линией регрессии

Линия регрессии

Как и в случае с корреляциями, для того, чтобы регрессии были значимыми, они должны:

Как и корреляция, линейная регрессия отображается на диаграмме рассеяния

Линия регрессии на диаграмме рассеяния – это наиболее подходящая прямая линия, которая проходит через точки на диаграмме рассеяния. Другими словами, это линия, которая проходит через точки с наименьшим расстоянием от каждой из них до линии (поэтому в некоторых учебниках вы можете встретить название «регрессия наименьших квадратов»).

Почему эта линия так полезна? Мы можем использовать вычисление линейной регрессии для вычисления или прогнозирования нашего значения Y, если у нас есть известное значение X.

Чтобы было понятнее, давайте рассмотрим пример.

Пример регрессии

Представьте, что вы хотите предсказать, сколько вам нужно будет заплатить, чтобы купить дом площадью 1,500 квадратных футов.

Давайте используем для этого линейную регрессию.

Вот диаграмма рассеяния, показывающая цены на жилье (ось Y) и площадь в квадратных футах (ось x).

Вы можете видеть, что дома с большим количеством квадратных футов, как правило, стоят дороже, но сколько именно вам придется потратить на дом размером 1500 квадратных футов?

Диаграмма рассеяния цен на дома и квадратных метров

Чтобы помочь вам ответить на этот вопрос, проведите линию через точки. Это и будет линия регрессии. Линия регрессии поможет вам предсказать, сколько будет стоить типовой дом определенной площади в квадратных метрах. В этом примере вы можете видеть уравнение для линии регрессии.

Уравнение линии регрессии

Уравнение линии регрессии: Y = 113x + 98,653 (с округлением).

Что означает это уравнение? Если вы купили просто место без площади (пустой участок), цена составит 98,653 доллара. Вот как можно решить это уравнение:

Чтобы найти Y, умножьте значение X на 113, а затем добавьте 98,653. В этом случае мы не смотрим на квадратные метры, поэтому значение X равно «0».

Значение 98,653 называется точкой пересечения по оси Y, потому что здесь линия пересекает ось Y. Это – значение Y, когда X равно «0».

Но что такое 113? Число «113» – это наклон линии. Наклон – это число, которое описывает как направление, так и крутизну линии. В этом случае наклон говорит нам, что за каждый квадратный фут цена дома будет расти на 113 долларов.

Итак, сколько вам нужно будет потратить на дом площадью 1500 квадратных футов?

Взгляните еще раз на эту диаграмму рассеяния. Синие отметки – это фактические данные. Вы можете видеть, что у вас есть данные для домов площадью от 1100 до 2450 квадратных футов.

Насколько можно быть уверенным в результате, используя приведенное выше уравнение, чтобы спрогнозировать цену дома площадью в 500 квадратных футов? Насколько можно быть уверенным в результате, используя приведенное выше уравнение, чтобы предсказать цену дома площадью 10,000 квадратных футов?

Поскольку оба этих измерения находятся за пределами диапазона фактических данных, вам следует быть осторожными при прогнозировании этих значений.

Величина достоверности аппроксимации

Наведите курсор на линию регрессии, чтобы увидеть значение величины достоверности аппроксимации r.

В дополнение к уравнению в этом примере мы также видим значение величины достоверности аппроксимации r (также известная как коэффициент детерминации).

Это значение является статистической мерой того, насколько близки данные к линии регрессии или насколько хорошо модель соответствует вашим наблюдениям. Если данные находятся точно на линии, значение величины достоверности аппроксимации будет 1 или 100%, и это означает, что ваша модель идеально подходит (все наблюдаемые точки данных находятся на линии).

Для наших данных о ценах на жилье значение величины достоверности аппроксимации составляет 0,70, или 70%.

Корреляция против причинно-следственной связи

Теперь давайте рассмотрим, как отличить линейную регрессию от корреляции.

Линейная регрессия

Корреляция

Готовы проверить свои знания? В следующем упражнении определите, чему соответствует каждое из описаний: корреляции или регрессии.

Варианты для категорий: «корреляция» или «регрессия».

Измеряется величиной достоверности аппроксимации

Прогнозирует значения Y на основе значений X.

Не предсказывает значения Y из значений X, только показывает взаимосвязь.

Переменные оси X и Y взаимозаменяемы.

Если поменять местами X и Y, результаты анализа изменятся.

Резюме

Итак, здесь вы познакомились со статистическими концепциями корреляции и регрессии. Это поможет вам лучше исследовать и понимать данные, с которыми вы работаете, путем изучения взаимосвязей в них.

Источник

Что такое R² в Excel, и зачем нужен тренд на графике?

Когда научный руководитель сказал мне о необходимости указать на графике R² (р квадрат), я растерялся. В тот момент я не знал о трендах в диаграммах и графиках Excel. Этот материал поможет сориентироваться начинающим.

Что такое R² в Экселе

Для примера возьмем данные о продажах умных часов по брендам. Саму таблицу и график можно найти по этой ссылке на сайте CounterPointResearch. Там много подобной информации.

Выделяем диапазон данных и добавляем диаграмму. Теперь наводим мышь на столбцы бренда Others — «остальные», нажимаем правую клавишу мыши. Выбираем пункт Добавить линию тренда.

По умолчанию тренд линейный. Чуть позднее расскажу, как выбрать иную функцию, и стоит ли это делать. Теперь подводим курсор мыши к тренду и снова нажимаем правую кнопку.

Добавляем на график R².

Как видим из названия пункта, это величина достоверности апроксимации. Максимальное значение параметра Р-квадрат единица. Но получить ее можно только на специально подогнанных данных в реальной жизни приемлемое значение 0,8-0,9. В нашем случае — 0,78, что неплохо.

Стоит ли добиваться максимального значения R²

Улучшить достоверность апроксимации можно меняя вид кривой. Это можно сделать в открывающемся справа окошке Формат линии тренда.

Если использовать полиноминальную функцию, то апроксимацию можно улучшить значительно. Но вот смысла это не имеет. Экономические показатели обычно укладываются в линейный (рост/падение) или экспоненциальный тренд. Экспоненциально, например, растет число клиентов быстрорастущей фирмы.

Выбор полиноминальной функции может и улучшит показатель достоверности, а вот прогноз сделает менее точным.

Как использовать тренд для прогноза

Кроме определения общего положения дел (рост/снижение), тренд может предсказать значения показателей в будущем. Это делается в окошке Формата линии тренда.

Попробуем предсказать продажи умных часов в первом квартале 2021 году и сравним их с фактом. Добавим два линейных тренда для Apple и Остальных.

Как видим, по яблочным часа прогноз построен верно, по остальным функция прогнозирует значение около 35%, а в реальности 46%. Возможно, это связано с выходом новых игроков на рынок или снижением доли Huawei. Мы имеем дело с относительными показателями (доля), а не с натуральными. Кстати, полиноминальный прогноз для категории Остальные дал бы еще менее точный прогноз, хотя R² и выше, что подтверждает необходимость осторожно выбирать функцию.

Почитайте и другие статьи про работу с таблицами Excel на нашем сайте. Например, у нас есть полезный материал об условном оформлении ячеек в таблице.

Источник

Величина достоверности аппроксимации r2 что показывает

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Выполнение аппроксимации

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

Для построения графика, прежде всего, выделяем столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого перемещаемся во вкладку «Вставка». Далее на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» щелкаем по кнопке «Точечная». В открывшемся списке выбираем наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Именно данный вид диаграмм наиболее подходит для работы с линией тренда, а значит, и для применения метода аппроксимации в Excel.

Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».

Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.

В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.

Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.

После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

Для того, чтобы изменить тип линии тренда, выделяем её кликом правой кнопки мыши и в раскрывшемся меню выбираем пункт «Формат линии тренда…».

После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

Тем же способом, что и в предыдущий раз через контекстное меню запускаем окно формата линии тренда. Устанавливаем переключатель в позицию «Логарифмическая» и жмем на кнопку «Закрыть».

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

Переходим в окно формата линии тренда, как уже делали не раз. В блоке «Построение линии тренда» устанавливаем переключатель в позицию «Полиномиальная». Справа от данного пункта расположено поле «Степень». При выборе значения «Полиномиальная» оно становится активным. Здесь можно указать любое степенное значение от 2 (установлено по умолчанию) до 6. Данный показатель определяет число максимумов и минимумов функции. При установке полинома второй степени описывается только один максимум, а при установке полинома шестой степени может быть описано до пяти максимумов. Для начала оставим настройки по умолчанию, то есть, укажем вторую степень. Остальные настройки оставляем такими же, какими мы выставляли их в предыдущих способах. Жмем на кнопку «Закрыть».

Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.

Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:

В нашем случае формула приняла такой вид:

y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01
Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

Перемещаемся в окно «Формат линии тренда». Устанавливаем переключатель вида сглаживания в позицию «Степенная». Показ уравнения и уровня достоверности, как всегда, оставляем включенными. Жмем на кнопку «Закрыть».

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

В конкретно нашем случае она выглядит так:

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Коэффициент достоверности аппроксимации это значение которое характеризует точность аппроксимации, т. е. показывает на сколько точно теоретическое распределение описывает реальное распределение.

Коэффициент достоверности аппроксимации R 2 показывает степень соответствия трендовой модели исходным данным. Его значение может лежать в диапазоне от 0 до 1. Чем ближе R 2 к 1, тем точнее модель описывает имеющиеся данные.

Критерий Фишера используется для оценки значимости модели в целом.

Для оценки используется уравнение следующего вида:

где – коэффициент детерминации, n – количество наблюдений, k – число объясняющих переменных.

Вычисленное по этой формуле значение сравнивается с критическим значением критерия Фишера из таблиц распределения Фишера:

где – уровень значимости,и– степени свободы.

Если в результате сравнения оказывается, что , то при заданном уровне значимостипринимается гипотеза о надежности модели в целом. Если в результате сравнения оказывается, что, то при заданном уровне значимостигипотеза о надежности модели в целом отвергается.

52. Понятие экстраполяции (прогнозирование результатов измерений)

Экстраполяция— это метод прогнозирования, который предполагает, что закономерность развития, действовавшая в прошлом, сохранится и в прогнозируемом будущем.

53. Фундаментальная теорема переноса ошибок имеет вид:

где – корреляционная матрица, – матрица производных функций . Эта формула применяется при оценке функций.

– это дисперсия D_Y.

Если оценивается несколько функций, то матрица f будет являться матрицей Якоби (используем формулу ).

Получим ковариационную матрицу, диагональные элементы которой соответствуют дисперсии, корень из дисперсии будет соответствовать СКО функций.

Если мы имеем функцию суммы или разности двух независимых величин

, то квадрат средней квадратической ошибки функции выразится формулой

m_z 2 =m_x 2 +m_y 2 При

Если функция имеет вид

,

то (14)

т. е. квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы аргументов равен сумме квадратов средних квадратических ошибок слагаемых.

т. е. средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы (разности) измеренных с одинаковой точностью величин в раз больше средней квадратической ошибки одного сла­гаемого.

Если функция имеет вид

то . (15)

Из формулы (15) следует, что квадрат средней квадратиче­ской ошибки функции общего вида равен сумме квадратов про­изведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента

54. Оценка точности функций зависимых результатов измерений.

Формулы для вычислений средних квадратических ошибок функции u=f(x₁,x₂,….x_n)

а) в случае некоррелированных аргументов :

m_u 2 = 2 m_xi 2

б) для коррелированных аргументов

m_u 2 = 2 m_xi 2 +2 r_{xi xj} m_xi m_xj

Для системы функций (вектор-функции) u = f(X)

M_u 2 = AM 2 _xA T где M_u 2 и M 2 _x – соответственно эмпирическне корреляционные матрицы вектор-функции и вектора измерений. А – Матрица

Квадрат коэффициента корреляции (r 2 ) называется коэффициентом детерминации или аппроксимации и обозначается RI или R 2 .Этот коэффициент показывает долю (%) тех изменений, которые в данном явлении зависят от изучаемого фактора. Коэффициент детерминации является более непосредственным и прямым способом выражения зависимости одной величины от другой, и в этом отношении он предпочтительнее коэффициента корреляции. В случаях, где известно, что независимая переменная у находится в причинной связи с независимой переменной х, значение r 2 показывает ту долю элементов в вариации у, которая определена влиянием х. Так, например, если было установлено, что коэффициент корреляции между дозой азотного удобрений и содержанием белка в зерне составил 0,96, то можно утверждать, что 92% (0,96 · 0,96) колебаний содержания белка в зерне обусловлено варьированием доз азотного удобрения.

В практической статистике, коэффициенты детерминации или аппроксимации более широко используются при характеристике изучаемых взаимосвязей. Его можно использовать не только для описания прямолинейной связи между признаками, но и криволинейной (в этом случае, его называют коэффициент аппроксимации, и он представляет собой квадрат корреляционного отношения ).

Обычно при определении взаимосвязи между изучаемыми признаками устанавливают последовательно коэффициент корреляции, коэффициент детерминации (или аппроксимации) и скорректированный коэффициент детерминации (RI_adj), который рассчитывается по формуле:

. (57)

Именно, скорректированный коэффициент детерминации позволяет судить с высокой степенью вероятности о том, насколько процентов варьирование результативного признака обусловлено варьированием факториального.

Множественная корреляция.Корреляцияназывается множественной если на величину результативного признака одновременно влияют несколько факториальных.

Частные коэффициенты корреляции рассчитываются по формулам:

; (58)

; (59)

. (60)

Ошибку и критерий значимости частной корреляции определяют аналогично, что и парной корреляции.

Множественный коэффициент корреляции нескольких переменных – это показатель тесноты связи между одним из признаков (буква индекса перед точкой) и совокупностью других признаков (буквы индекса после точки). Коэффициент корреляции трёх переменных рассчитывается по следующим формулам:

; (61)

; (62)

. (63)

Эти формулы позволяют легко вычислить множественные коэффициенты корреляции при известных значениях коэффициентов парной корреляции. Коэффициент R положителен и всегда находится в пределах от 0 до 1.

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом множественной детерминации, который, как и обыкновенный коэффициент детерминации, обозначается RI или R 2 .

Значимость множественной корреляции оценивается по F – критерию:

, (64)

где n – объём выборки,

p – число независимых переменных или признаков.

Теоретическое значение F – критерия берут из приложения III для df₁ = р-1 и df₂ = n–p степеней свободы и принятого уровня значимости. Нулевая гипотеза о равенстве множественного коэффициента корреляции в совокупности нулю (Н : R = 0) принимается, если F_факт

Парная регрессияхарактеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями:

прямой ;

гиперболы

параболы и т.д.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически, однако в практике не часто прибегают к этому методу определения уравнения.

Оценка параметров уравнений регрессии (а, b₁, b₂…) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

SS = → min

Рисунок 8. Прямая линия регрессии на графике зависимости содержания белка в зерне ячменя от дозы азотного удобрения

Рисунок 9. Параболическая линия регрессии на графике зависимости содержания белка в зерне ячменя от дозы азотного удобрения

В отношении установленной зависимости между дозами азотного удобрения и содержания белка в зерне ячменя данное правило можно интерпретировать так: прямая линия должна быть максимально приближена ко всем значениям х_у или у_х, что отчётливо отмечается на графике (рисунок 2 и рисунок 3)

Задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы установить параметры уравнения регрессии (а, b₁, b₂…) или иными словами, описать взаимосвязь между изучаемыми показателями с помощью уравнения, оценить на какую величину изменяется значение результативного признака, при изменении факторного на единицу.

Нахождение параметров линейной парной регрессии общепринятым методом осуществляется решением системы нормальных уравнений следующего вида:

, (65)

где n – объём исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).

В уравнениях регрессии параметр a показывает усреднённое влияние на результативный признак неучтённых в уравнении факторных признаков: коэффициент регрессии b показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения. Таким образом, решая данную систему нормальных уравнений задача состоит именно в определении параметров уравнения регрессии a и b.

Уравнение линейной регрессии , в сельскохозяйственных и биологических исследованиях нередко представляют несколько в другом виде:

, (66)

или аналогично для нахождения теоретической линии регрессии х по у: , (67)

где и – средние арифметические для ряда х и у;

– коэффициент регрессии у по х,

Коэффициенты регрессии вычисляются по формулам:

; (68)

. (69)

Числители этих формул представляют собой сумму произведений отклонений значений х и у от своих средних (то есть числитель формулы (64) расчёта коэффициента корреляции), а знаменатели – сумму квадратов отклонений от средних. Таким образом, связь между коэффициентов корреляции и коэффициентом регрессии можно математически выразить так:

; . (70, 71)

Произведение коэффициентов регрессии равно коэффициенту детерминации:

=RI (72)

При регрессионном анализе проводят обычно две оценки выборочных коэффициентов регрессии: а) оценки величины отклонений от линии регрессии и б) оценку существенности b, то есть значимость отклонения его от нуля.

Ошибка коэффициента регрессии вычисляется по формуле:

и . (73, 74)

Критерий существенности коэффициента регрессии определяют по формуле:

(75)

Существенность коэффициента регрессии оценивают по приложению II, число степеней свободы df принимают равным n–2.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Значения критерия ω (по Н.Ф. Деревицкому)

Число степеней свободы	Уровень значимости	Число степеней свободы 5%-ный	Уровень значимости
5%-ный	1%-ный	5%-ный	1%-ный
1,41	1,41	1,93	2,45
1,64	1,72	1,93	2,45
1,76	1,92	1,93	2,46
1,81	2,05	1,93	2,46
1,85	2,14	1,94	2,47
1,87	2,21	1,94	4,47
1,88	2,26	1,94	2,48
1,90	2,29	1,94	2,48
1,90	2,32	1,94	2,49
1,91	2,34	1,94	2,49
1,92	2,35	1,94	2,50
1,92	2,38	1,94	2,50
1,92	2,39	1,94	2,50
1,92	2,41	1,94	2,51
1,93	2,42	1,95	2,53
1,93	2,43	1,95	2,54
1,93	2,44	1,96	2,55
	1,96	2,58

Стандартные значения критерия t (критерия Стьюдента) на 5%-ном, 1%-ном и 0,1%-ном уровне значимости (округлены до десятых)

Наиболее значимые стандартные значения критерия F (критерия Р.Фишера) на 5%-ном, 1%-ном (жирным шрифтом) уровне значимости

(округлены до десятых)

Число степеней свободы для меньшей дисперсии (df2)	Число степеней свободы для большей дисперсии (df1)
6,0 13,7	5,1 10,9	4,8 9,8	4,5 9,2	4,4 8,8	4,3 8,5	4,2 8,3	4,2 8,1	4,0 7,7	3,8 7,3	3,7 6,9
5,6 12,3	4,7 9,6	4,4 8,5	4,1 7,9	4,0 7,5	3,9 7,2	3,8 7,0	3,7 6,8	3,6 6,5	3,4 6,1	3,2 5,7
5,3 11,3	4,5 8,7	4,1 7,6	3,8 7,0	3,7 6,3	3,6 6,4	3,5 6,2	3,4 6,0	3,3 5,7	3,1 5,3	2,9 4,9
5,1 10,6	4,3 8,0	3,9 7,0	3,6 6,4	3,5 6,1	3,4 5,8	3,3 5,6	3,2 5,5	3,1 5,1	2,9 4,7	2,7 4,3
5,0 10,0	4,1 7,6	3,7 6,6	3,5 6,0	3,3 5,6	3,2 5,4	3,1 5,2	3,1 5,1	2,9 4,7	2,7 4,3	2,5 3,9
4,8 9,7	4,0 7,2	3,6 6,2	3,4 5,7	3,2 5,3	3,1 5,1	3,0 4,9	3,0 4,7	2,8 4,4	2,6 4,0	2,4 3,6
4,8 9,3	3,9 6,9	3,5 6,0	3,3 5,4	3,1 5,1	3,0 4,8	2,9 4,6	2,8 4,5	2,7 4,2	2,5 3,8	2,3 3,4
4,7 9,1	3,8 6,7	3,4 5,7	3,2 5,2	3,0 4,9	2,9 4,6	2,8 4,4	2,8 4,3	2,6 4,0	2,4 3,6	2,2 3,2
4,6 8,9	3,7 6,5	3,3 5,6	3,1 5,0	3,0 4,7	2,9 4,5	2,8 4,3	2,7 4,1	2,5 3,8	2,3 3,4	2,1 3,0
4,5 8,7	3,7 6,4	3,3 5,4	3,1 4,9	2,9 4,6	2,8 4,3	2,7 4,1	2,6 4,0	2,5 3,7	2,3 3,3	2,3 2,9
4,5 8,5	3,6 6,2	3,2 5,3	3,0 4,8	2,9 4,4	2,7 4,2	2,7 4,0	2,6 3,9	2,4 3,6	2,2 3,2	2,0 2,8
4,4 8,3	3,6 6,0	3,2 5,1	2,9 4,6	2,8 4,3	2,7 4,0	2,6 3,8	2,5 3,7	2,3 3,4	2,1 3,0	1,9 2,6
4,4 8,1	3,5 5,9	3,1 4,9	2,9 4,4	2,7 4,1	2,6 3,9	2,5 3,7	2,4 3,6	2,3 3,2	2,1 2,9	1,8 2,4
4,3 7,9	3,4 5,7	3,1 4,8	2,8 4,3	2,7 4,0	2,6 3,8	2,5 3,6	2,4 3,5	2,2 3,1	2,0 2,8	1,8 2,3
4,3 7,8	3,4 5,6	3,0 4,7	2,8 4,2	2,6 3,9	2,5 3,7	2,4 3,5	2,4 3,3	2,2 3,0	2,0 2,7	1,7 2,2
4,2 7,7	3,4 5,5	3,0 4,6	2,7 4,1	2,6 3,8	2,5 3,6	2,4 3,4	2,3 3,3	2,2 3,0	1,9 2,6	1,7 2,1
4,2 7,6	3,3 5,4	2,9 4,5	2,7 4,0	2,5 3,7	2,4 3,5	2,3 3,3	2,3 3,2	2,1 2,8	1,9 2,5	1,6 2,0
	3,8 6,6	3,0 4,6	2,6 3,8	2,4 3,3	2,2 3,0	2,1 2,8	2,0 2,6	1,9 2,5	1,8 2,2	1,5 1,8	1,0 1,0

Дата добавления: 2016-12-06 ; просмотров: 4217 | Нарушение авторских прав

Источник