Что такое отрезок в геометрии 7 класс определение

Длина отрезка

Для определения длины отрезка его нужно сравнить с другим отрезком, принятым за единицу измерения.

В качестве единицы измерения можно взять, например, сантиметр. В этом случае для определения длины отрезка узнают, сколько раз в данном отрезке укладывается сантиметр. Этот показатель и является длиной отрезка выраженная в сантиметрах. Если длина отрезка AB равна трем сантиметрам, то пишут AB=3см.

Если отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке, то его обычно делят на 10 равных частей и определяют сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Одна десятая часть сантиметра называется миллиметром. В итоге получаем длину отрезка в сантиметрах и миллиметрах.

На Рис.4 1см укладывается в отрезке AB 4 раза и в остатке укладывается ровно 8 одну десятую часть сантиметра. Поэтому можно писать: AB=4см 8мм или AB=4.8см.

Направленный отрезок

Если для отрезка определить направление, то такой отрезок называется направленным отрезком. Направленный отрезок имеет начальную точку и конечную точку. В конечной точке направленного отрезка рисуют стрелку (Рис.5)

Для обозначения направленных отрезков сначала пишется начальная точка, а затем конечная точка. На рисунке 2 верхний направленный отрезок обозначают так: \( \small \overrightarrow \) а нижний отрезок так: \( \small \overrightarrow \) Направленный отрезок называют вектором.

Источник

Словарь геометрических понятий 7-8 класс

Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы

7 класс Глава I Начальные геометрические сведения

Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов

Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.

Луч-часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.

Угол-часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Равные фигуры-фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.

Середина отрезка-точка на отрезке, делящая его пополам.

Биссектриса угла-луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

Единицы измерения углов: градус, минуты, секунды.

Длина отрезка-количество единиц измерения длины, вмещающихся между двумя концами отрезка.

Градусная мера угла-количество единиц измерения углов, вмещающихся между сторонами угла.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая,а две других образуют прямую линию.

Вертикальные углы-два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойство: вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые-прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.

Параллельные прямые-прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Глава II Треугольники

Треугольник-фигура, состоящая из трёх точек, соединённых между собой отрезками.Точки-вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.

Периметр – сумма длин всех сторон.

Теорема(первый признак равенства треугольников): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: из точки,не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медиана треугольника— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника— отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника— перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник-треугольник, у которого две стороны равные. Равные стороны – боковые, третья сторона – основание.

Равносторонний треугольник— треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Теорема(второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(третий признак равенства треугольников): если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружность-геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки-центра.

Радиус окружности-отрезок,соединяющий любую точку окружности с её центром.

Хорда-отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

Диаметр-хорда, проходящая через центр.

Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

построение отрезка, равного данному

построение угла, равного данному

построение биссектрисы угла

построение середины отрезка

построение перпендикулярных прямых

Глава III Параллельные прямые

При пересечении двух прямых третьей прямо-секущей образуются следующие виды углов:

накрест лежащие углы

Теорема(первый признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(второй признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема:если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Теорема:если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника

Внешний угол треугольника-угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.

Остроугольный треугольник-это треугольник, все внутренние углы которого острые.

Тупоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов прямой.

Гипотенуза-это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Катеты-это стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.

Теорема:в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Теорема:в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствие:в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.

Теорема(признак равнобедренного треугольника):если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема(неравенство треугольника):каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Теорема:все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

8 класс. Глава V Четырёхугольники

Многоугольник-фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.

Диагональ-это отрезок, соединяющий две несоседних вершины многоугольника.

Выпуклый многоугольник— это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Параллелограмм— это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Трапеция-это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.

Равнобедренная трапеция-это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция-это трапеция, у которой один из углов прямой.

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Прямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали прямоугольника равны.

Теорема(признак прямоугольника):если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.

Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема(обр.):если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

Глава VII Подобные треугольники

Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m ₁и n ₁,если отношения их длин равны m : m ₁= n : n _1.

Подобные треугольники— это треугольники, у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Коэффициент подобия- это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема(второй признак подобия треугольников):если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Глава VIII Окружность

Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.

Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Средняя линия трапеции— это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Теорема:средняя линия трапеции равна полусумме её оснований и параллельна им.

Источник

Как определяется понятие «отрезок» в геометрии

Содержание:

Для изображения прямых, лучей и отрезков применяют линейку. Отрезок на листике бумаги можно изобразить полностью, для луча и прямой – их фрагменты, ведь первый не имеет конца, только начало, вторая – бесконечна. Объясним, что такое отрезок в геометрии, чем отличается от иных фигур в евклидовом пространстве. Разберёмся с его свойствами.

Как выглядит отрезок

Обозначается двумя буквами – это название точек, лежащих в начале и конце. AB – концы геометрической фигуры, а расстояние между ними – длина фигуры, обозначается |AB|, измеряется преимущественно в сантиметрах.

Количество первых и вторых может быть любым.

Различают следующие отрезки:

Выше показаны расположенные в одной точке пересекающиеся отрезки, имеющие общую точку – E. Два обрезка не могут иметь больше одной общей точки.

Разнообразие и измерение отрезков

Геометрическая фигура AB тождественна или равная BA. Началом и концом может быть любая буква A или B, разницы нет. В случае с вектором фигура EF не равная FE.

Измерение геометрических фигур основано на аксиоме Архимеда: дана пара отрезков разной длины, причём AB > CD. На AB можно отложить столько геометрических фигур CD, во сколько раз он меньше или короче AB.

CD. На AB можно отложить столько геометрических фигур CD, во сколько раз он меньше или короче AB.» src=»https://455811.selcdn.ru/BINGOCDN/default/moddocument/3023/e374aa7c42abc85c5922eca722ecfd2f1c4ee8aa.png» />

На практике их длина измеряется линейкой. Начальная точка совмещается с обозначением ноля на именительном приборе, точность которого равна одному миллиметру. Если конечная точка лежит между рисками на линейке, разницу в доли миллиметра не учитывают – значение округляют.

При измерении бывают следующие случаи (при условии, что AB > CD):

В подобных случаях обходятся избыточным и недостаточным измерениями. В первом – дробь округляют в меньшую сторону: если получается более 5,6, записывают 5,6; во втором – 5,7 см.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и отношений между ними.

Отрезок – это часть прямой, ограниченная точками, вместе с этими точками.

Концы отрезка – это точки, ограничивающие отрезок.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

«Геометрия – неотъемлемая часть мировой сокровищницы человеческой мысли», – однажды сказал российский математик Игорь Фёдорович Шарыгин.

С этих слов мы и начнём изучать новый раздел математики, который называется геометрия.

Геометрия – одна из древнейших наук, которая возникла из потребностей человека. Её название состоит из двух древнегреческих слов: гео – земля и метрео – измеряю, получается: «землю измеряю». Действительно, слово «геометрия» связано с измерениями, как на земельных участках, так и при строительстве зданий. Многие факты добывались опытным путем, поэтому геометрия не являлась точной наукой во времена своего зарождения.

Геометрические сведения стали доказываться только благодаря древнегреческому учёному Фалесу, который жил в VI веке до нашей эры.

Спустя некоторое время, уже в III веке до нашей эры, другой греческий учёный Евклид написал «Начала». Эта книга стала основой изучения геометрии на долгое время, а наука в честь учёного была названа евклидовой геометрией.

Сегодня геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и отношений между ними.

В школе изучается два курса геометрии – планиметрия, в ней рассматриваются свойства фигур на плоскости, и стереометрия, в ней рассматриваются свойства фигур в пространстве.

В каждой науке есть свои термины, понятия, геометрия не исключение. В геометрии есть основные положения, которые принимаются в качестве исходных и носят название аксиом и основные понятия, определение которым не даётся, например, точка и прямая, но их свойства выражены в аксиомах. Это всё является фундаментом геометрии, на котором строятся другие понятия и доказываются теоремы.

Рассмотрим некоторые из аксиом.

1. Аксиомы принадлежности.

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей.

2. Аксиомы расположения.

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Аксиомы измерения.

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

В целом аксиомы разделены на 5 групп, 3 из которых, частично, представлены вашему вниманию.

В 7 классе вы будете изучать планиметрию. Давайте перечислим некоторые понятия из этого раздела геометрии. Поговорим о точках, прямых, отрезках, вспомним, как они обозначаются.

Обычно прямую обозначают малой латинской буквой (например, a), а точки большими латинскими буквами, например, A.

Если на прямой отметить точки, например, A и B, то прямую в можно обозначить двумя заглавными буквами AB или BA.

Часть прямой, ограниченной точками, включая эти точки, называют отрезком. В нашем случае получаем отрезок AB или BA.

Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. В нашем случае концами отрезка являются точки A и B.

Варианты взаимного расположения точек и прямой: точки могут лежать на прямой или не лежать на ней.

Например, точки A и B лежат на прямой a, точки C и D не лежат на прямой a. При этом в записи используют следующее обозначение:

Это можно прочитать таким образом: «точка A и B принадлежат прямой a (ϵ – знак принадлежности), также точки C и D не принадлежат прямой a (перечёркнутый знак принадлежности)».

При этом через точки А и В нельзя провести прямую, не совпадающую с прямой а, из этого делаем вывод, что через любые две точки можно провести только одну прямую.

Рассмотрим, как располагаются прямые на плоскости.

Прямые могут иметь только одну общую точку, тогда говорят, что прямые пересекаются или не иметь общих точек, тогда говорят, что прямые не пересекаются.

прямые пересекаются – прямые не пересекаются

Решим задачу. Построим с помощью линейки отрезок длиннее, чем она сама. Приём, который мы будем использовать, называется провешиванием прямой.

Рассмотрим, в чём он заключается. Для этого приложим к листу бумаги линейку и отметим три точки А, В, С, при этом, точка С пусть лежит между точками А и В. Далее передвинем линейку так, чтобы её конец оказался около точки С, отметим точку D. Все построенные точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Теперь проведём отрезок АВ, потом отрезок ВD, в результате получим отрезок АD длиннее, чем линейка.

Для построения на местности отмечают две точки, например, А и В, ставят в них шесты (вехи), третий шест ставят в точку С так, чтобы её закрывали уже ранее поставленные шесты.

Так можно прокладывать линии высоковольтных передач, трассы и т. д.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Сколько отрезков образуется при пересечении прямых на рисунке?

Посмотрите на рисунок. На нём изображены 4 пересекающиеся прямые, точки пересечения разбивают прямые на отрезки: прямая с разбивается на 3 отрезка АЕ, АВ, ЕВ. Аналогично все прямые разбиваются на 3 отрезка. В результате получаем, что каждая из четырёх прямых, разбивается точками пересечения на 3 отрезка, значит: 4 · 3 = 12

2. Выберите правильные варианты ответа. С чем пересекается прямая m?

Решение: при выполнении задания, нужно помнить, что прямая бесконечно продолжается в обе стороны, а отрезок ограничен точками, поэтому, если продолжить прямую m и n, то становится понятно, что они пересекутся между собой. Кроме того, прямая m пересечётся и с отрезком АВ. Следовательно, получается 2 ответа: прямая m пересекается с прямой n и отрезком АВ.

Ответ: прямая m пересекается с прямой n; прямая m пересекается с отрезком АВ.

Источник