Что такое параллельное проецирование

Параллельное проецирование

Очевидно, при таком положении центра проекции и все остальные проецирующие лучи будут также параллельны [SA). Множество всех лучей пространства, параллельных одному лучу, имеющему несобственную точку, образуют связку, центр которой несобственная точка, совпадающая с центром проекции.

В связи с параллельностью проецирующих лучей, рассматриваемый способ проецирования называют параллельным, а полученные с его помощью проекции параллельными проекциями.

Чтобы осуществить параллельное проецирование необходимо иметь аппарат, который полностью определяется положением плоскости проекции α и направлением проецирования s.

Отмеченное ранее свойство центрального проецирования сохраняется и в данном случае. Применительно к параллельному проецированию оно может быть сформулировано:

Каждая точка пространства, при заданном аппарате проецирования, будет иметь одну и только одну параллельную проекцию.

Обратное утверждение, как и в случае центрального проецирования, не имеет места.

Для определения положения точки в пространстве необходимо иметь две ее параллельные проекции, полученные при двух различных направлениях проецирования.

В этом случае положение точки A определяется пересечением прямых, проведенных через A α ₁ и A α ₂ параллельно соответствующим направлениям s₁ и s₂.

На рисунке показано также нахождение положения в пространстве точки B по известным ее параллельным проекциям B α ₁ и B α ₂.

Источник

Параллельное проецирование. Площадь проекции фигуры

В задачах по геометрии успех зависит не только от знания теории, но от качественного чертежа.
С плоскими чертежами все более-менее понятно. А в стереометрии дело обстоит сложнее. Ведь изобразить надо трехмерное тело на плоском чертеже, причем так, чтобы и вы сами, и тот, кто смотрит на ваш чертеж, увидели бы то же самое объемное тело.

Как это сделать?
Конечно, любое изображение объемного тела на плоскости будет условным. Однако существует определенный набор правил. Существует общепринятый способ построения чертежей — параллельное проецирование.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Возьмем объемное тело.
Выберем плоскость проекции.
Через каждую точку объемного тела проведем прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость проекции под каким-либо углом. Каждая из этих прямых пересекает плоскость проекции в какой-либо точке. А все вместе эти точки образуют проекцию объемного тела на плоскость, то есть его плоское изображение.

Как строить проекции объемных тел?
Представьте, что у вас есть каркас объемного тела — призмы, пирамиды или цилиндра. Освещая его параллельным пучком света, получаем изображение — тень на стене или на экране. Заметим, что в разных ракурсах получаются разные изображения, но некоторые закономерности все же присутствуют:

Проекцией отрезка будет отрезок.

Конечно, если отрезок перпендикулярен плоскости проекции — он отобразится в одну точку.

Проекцией круга в общем случае окажется эллипс.

Проекцией прямоугольника — параллелограмм.

Вот как выглядит проекция куба на плоскость:

Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции

Можно сделать по-другому:

Какой бы ракурс мы ни выбрали, проекциями параллельных отрезков на чертеже тоже будут параллельные отрезки. Это один из принципов параллельного проецирования.

Рисуем проекции пирамиды,

Еще раз повторим основной принцип параллельного проецирования. Выбираем плоскость проекции и через каждую точку объемного тела проводим параллельные друг другу прямые. Эти прямые пересекают плоскость проекции под каким-либо углом. Если этот угол равен 90° — речь идет о прямоугольном проецировании. С помощью прямоугольного проецирования строятся чертежи объемных деталей в технике. В этом случае мы говорим о виде сверху, виде спереди и виде сбоку.

Иногда в задачах требуется найти площадь прямоугольной проекции фигуры.

Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна S cosφ, где φ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В следующей статье рассказано, как выбрать наиболее удачный ракурс для построения чертежей в задачах по стереометрии, а также о распространенных ошибках, которые могут помешать решению.

Источник

Лекция 1. Методы проецирования

1.1. Центральное проецирование

Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.

Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S) прямой линии (SA, SB, >… — проецирующего луча).

Рисунок 1.1 – Центральное проецирование

Введём следующие обозначения (Рисунок 1.1):

SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).

Примечание: левой клавишей мыши можно переместить точку в горизонтальной плоскости, при щелчке на точке левой клавишей мыши, изменится направление перемещения и можно будет ее переместить по вертикали.

Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.

Докажем это утверждение.

На рисунке 1.1: точка А₁ – центральная проекция точки А на плоскости проекций π₁. Но эту же проекцию могут иметь все точки, лежащие на проецирующей прямой. Возьмём на проецирующей прямой SA точку С. Центральная проекция точки С (С₁) на плоскости проекций π₁ совпадает с проекцией точки А (А₁):

Следует вывод, что по проекции точки нельзя судить однозначно о её положении в пространстве.

Чтобы устранить эту неопределенность, т.е. сделать чертеж обратимым, введём еще одну плоскость проекций (π₂) и ещё один центр проецирования (S₂) (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойств

Построим проекции точки А на плоскости проекций π₂. Из всех точек пространства только точка А имеет своими проекциями А₁ на плоскость π₁ и А₂ на π₂ одновременно. Все другие точки лежащие на проецирующих лучах будут иметь хотя бы одну отличную проекцию от проекций точки А (например, точка В).

Докажем данное свойство.

Соединим точки А и В между собой (Рисунок 1.2). Получим отрезок АВ, задающий прямую. Треугольник ΔSAB задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π₁=А₁В₁, где А₁В₁ – центральная проекция прямой, заданной отрезком АВ.

Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов.

1.2. Параллельное проецирование

Рассмотрим метод параллельного проецирования. Наложим три ограничения, которые позволят нам, пусть и в ущерб наглядности изображения, получить чертёж более удобным для использования его на практике:

Таким образом, наложив эти ограничения на метод центрального проецирования, мы пришли к его частному случаю – методу параллельного проецирования (Рисунок 1.3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P, называется параллельным.

Рисунок 1.3 – Метод параллельного проецирования

Проведём через точки А и В проецирующие лучи, параллельные заданному направлению проецирования Р. Проецирующий луч проведённый через точку А пересечёт плоскость проекций π₁ в точке А₁. Аналогично проецирующий луч, проведённый через точку В пересечет плоскость проекций в точке В₁. Соединив точки А₁ и В₁, получим отрезок А₁ В₁– проекция отрезка АВ на плоскость π₁.

1.3. Ортогональное проецирование. Метод Монжа

Четырехугольник АА₁В₁В задаёт плоскость γ, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π₁ (γ⊥π₁). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.

Рисунок 1.4 – Ортогональное проецирование

Рисунок 1.5- Монж, Гаспар (1746-1818)

Основоположником ортогонального проецирования считается французский учёный Гаспар Монж (Рисунок 1.5).

До Монжа строители, художники и учёные обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и, всё же, только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки.

Гаспар Монж родился 9 мая 1746 года в небольшом городке Боне (Бургундия) на востоке Франции в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший — Жан также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар Монж получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики. Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и вычерчивания линий были изобретены самим составителем.

Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.

В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам — математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года, книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométrie descriptive) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’application de l’analyse à la géometrie, 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях.

В 1780 был избран членом Парижской академии наук, в 1794 стал директором Политехнической школы. В течение восьми месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798–1801). Наполеон пожаловал ему титул графа, удостоил многих других отличий.

Метод изображения объектов по Монжу заключается в двух основных моментах:

1. Положение геометрического объекта в пространстве, в данном примере точки А, рассматривается относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей π₁ и π₂ (Рисунок 1.6).

Они условно разделяют пространство на четыре квадранта. Точка А расположена в первом квадранте. Декартова система координат послужила основой для проекций Монжа. Монж заменил понятие координатных осей проекций на линию пересечения плоскостей проекций (ось проекций) и предложил совместить координатные плоскости в одну путем поворота их вокруг координатных осей.

Рисунок 1.6 – Модель построения проекций точки

π₁ – горизонтальная (первая) плоскость проекций

π₂ – фронтальная (вторая) плоскость проекций

Рассмотрим пример проецирования точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций π₁ и π₂.

Опустим из точки А перпендикуляры (проецирующие лучи) на плоскости π₁ и π₂ и отметим их основания, то есть точки пересечения этих перпендикуляров (проецирующих лучей) с плоскостями проекций. А₁ – горизонтальная (первая) проекция точки А;А₂ – фронтальная (вторая) проекция точки А; АА₁ и АА₂ – проецирующие прямые. Стрелки показывают направление проецирования на плоскости проекций π₁ и π₂. Такая система позволяет однозначно определить положение точки относительно плоскостей проекций π₁ и π₂:

2. Совместим поворотом вокруг оси проекций π₂/π₁ плоскости проекций в одну плоскость (π₁ с π₂), но так, чтобы изображения не накладывались друг на друга, (в направлении α, Рисунок 1.6), получим изображение, называемое прямоугольным (ортогональным) чертежом (Рисунок 1.7):

Рисунок 1.7 – Ортогональный чертеж

1.4. Прямоугольные проекции точки. Свойства ортогонального чертежа

1. Две прямоугольные проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

2. Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно плоскостей проекций.

Убедимся в справедливости последнего утверждения, для чего повернём плоскость π₁ в исходное положение (когда π₁⊥π₂). Для того, чтобы построить точку А необходимо из точек А₁ и А₂ восстановить проецирующие лучи, а фактически – перпендикуляры к плоскостям π₁и π₂, соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров фиксирует в пространстве искомую точку А. Рассмотрим ортогональный чертеж точки А (Рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Построение эпюра точки

Введём третью (профильную) плоскость проекций π₃ перпендикулярную π₁ и π₂ (задана осью проекций π₂/π₃).

Расстояние от профильной проекции точки до вертикальной оси проекций А‘₀A₃ позволяет определить расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций π₂. Известно, что положение точки в пространстве можно зафиксировать относительно декартовой системы координат с помощью трёх чисел (координат) A(X_A; Y_A; Z_A) или относительно плоскостей проекций с помощью её двух ортогональных проекций (A₁=(X_A; Y_A); A₂=(X_A; Z_A)). На ортогональном чертеже по двум проекциям точки можно определить три её координаты и, наоборот, по трём координатам точки, построить её проекции (Рисунок 1.9, а и б).

а б
Рисунок 1.9 – Построение эпюра точки по её координатам

По расположению на эпюре проекций точки можно судить о её расположении в пространстве:

Для определения в каком квадранте пространства расположена точка, достаточно определить знак координат точки.

Зависимости квадранта положения точки и знаков координат

X	Y	Z
I	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
IV	+	+	—

Упражнение

Решение задачи: по оси OX отложить значение координаты X_A=60, затем через эту точку на оси OX восстановить линию проекционной связи, перпендикулярную к OX, по которой вверх отложить значение координаты Z_A=40, а вниз – значение координаты Y_A=20 (Рисунок 1.10). Все координаты положительные, значит точка расположена в I квадранте.

Рисунок 1.10 – Решение задачи

1.5. Задачи для самостоятельного решения

1. По эпюру определите положение точки относительно плоскостей проекций (Рисунок 1.11).

Рисунок 1.11

2. Достройте недостающие ортогональные проекции точек А, В, С на плоскости проекций π₁, π₂, π₃ (Рисунок 1.12).

Рисунок 1.12

3. Постройте проекции точки:

4. Постройте ортогональные проекции точки К, расположенной во втором квадранте и удаленной от плоскостей проекций π₁ на 40 мм, от π₂ — на 15 мм.

Источник

Методы проецирования в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Правила начертательной геометрии предусматривают построение изображений плоских или объёмных предметов с помощью приёма, называемого проецированием.

В начертательной геометрии для решения геометрических задач используется графический способ, при котором геометрические свойства предметов изучаются непосредственно по чертежу’. Для того, чтобы чертеж соответствовал изображаемому предмету, он должен быть построен по определенным геометрическим законам. Правила построения изображений в начертательной геометрии основаны на методе проекции. Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей.

Принятые обозначения:

Обозначения геометрических фигур

1. Точки, расположенные в пространстве, обозначаются прописными буквами латинского алфавита

11. Обозначение плоскостей, заданных следами:

Для проецирующих плоскостей задаётся проекция плоскости:

12. При преобразовании эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в новом положении:

После второго вращения соответственно:

Новое положение точки схода следов при вращении плоскости

Обозначения отношений между геометрическими элементами

1. Совпадение

— точки и совпадают.

2. Параллельность ( ):

— прямые и параллельны.

3. Перпендикулярность

— Прямая перпендикулярна плоскости

1. Принадлежность ( );

— точка принадлежит прямой .

2. Включение ():

— прямая a принадлежит плоскости

3. Пересечение ( ):

— точка есть пересечение прямой с плоскостью

— если и параллельны прямой то они параллельны между собой.

Методы проецирования

Различают два метода проецирования: центральное и параллельное.

Центральное проецирование

Предположим, что в пространстве заданы (Рис. 1.1) кривая плоскость и точка . Проведём из точки через точки и кривой прямые линии и отметим точки пересечения последних с плоскостью .

Обозначим полученные точки соответственно буквами Исходные и построенные элементы получили в начертательной геометрии названия: — полюс (центр) проецирования; плоскость — плоскость проекций; прямые — проецирующие лучи; кривая — оригинал; точки — центральные проекции точек , на плоскости (изображение); кривая — центральная проекция кривой .

Основные свойства центрального проецирования:

Достоинством центрального проецирования является наглядность изображения.

Данный метод, называемый перспективой, применяется в живописи, архитектуре. Кроме того, фотографии и киноизображения также являются центральными проекциями.

Дополнительное объяснение центрального проецирования:

Аппарат проецирования включает в себя проецирующие лучи, проецируемый объект и плоскость, на которой получается изображение оригинала.

Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при построении изображений архитектурно-строительных объектов, но дает значительное искажение размеров, вследствие чего не применяется для выполнения чертежей.

Подробное объяснение центрального проецирования:

Задается плоскость проекцийи центр проецирования S, точка А, не лежащая в плоскости.

Проведем из S через А прямую до пересечения с плоскостью . Получим центральную проекцию точки A.

1 свойство: при заданных плоскости проекций и центре проёцирования одна точка в пространстве имеет одну центральную проекцию.

Но если есть проекция точки, S и П, то точку в пространстве найти нельзя.

2 свойство: каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией бесконечного множества точек.

Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех её точек.

Центральные проекции линии не определяют проецируемую линию.

Центральное проецирование применяют для изображения предметов в перспективе, но для технического черчения этот метод неудобен.

Параллельное проецирование

Пусть (Рис. 1.2, а) требуется построить изображение кривой на плоскости . Проведём через точки кривой , проецирующие лучи, параллельные произвольному направлению и продолжим эти лучи до пересечения с плоскостью . Полученная проекция — параллельная проекция кривой на плоскость .

Параллельное проецирование обладает теми же свойствами, что и центральное. Кроме того, параллельные прямые проецируются в виде параллельных прямых (см. Рис. 1.2, б); отношение отрезков двух параллельных прямых и (см. Рис. 1.2, б) равно отношению проекций этих отрезков.

Параллельное проецирование разделяется на косоугольное и прямоугольное.

Плоскость проекций обычно относят к декартовой системе координат. Так, прямоугольное проецирование на горизонтальную и вертикальную плоскости проекций получило наименование «Метод прямоугольного проецирования на плоскости координат» (метод Г. Монжа).

Метод прямоугольного проецирования положен в основу выполнения технических чертежей.

Дополнительное объяснение параллельного проецирования:

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны заданному направлению (рис. 2). Точки пересечения проецирующих лучей, проходящих через точки с плоскостью проекций — параллельные проекции плоскости .

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центральною при бесконечно удаленном центре проекций В зависимости от направления проецирующих лучей относительно плоскости проекций параллельное проецирование может быть прямоугольным (проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций) и косоугольным (проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный 90°).

Если центр проекций удален в бесконечность, то все проецирующие лучи становятся параллельными и проецирование называется параллельным. В этом случае задается направление проецирования .

Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай параллельного проецирования, когда все проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций .

Ортогональная проекция получила наибольшее распространение в технических чертежах. Чертежи, полученные рассмотренными методами проецирования, не обладают свойством обратимости, т.е. по данному чертежу воспроизвести оригинал не решается однозначно.

Подробное объяснение параллельного проецирования:

Его можно рассматривать как частный случай центрального, при котором центр проецирования удален в бесконечность.

Применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называют прямоугольным или ортогональным.

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального, а так же возникают следующие свойства:

Если есть центр параллельной проекции, мы не сможем определить положение точки в пространстве.

Гаспар Монж предложил взять две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (горизонтальную и фронтальную и используя метод прямоугольного проецирования направить проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям.

— горизонтальная плоскость проекций -фронтальная плоскость проекций X- ось проекций- линия пересечения плоскостей

Но данное наглядное изображение точки в системе для целей черчения неудобно.

Преобразуем его так, чтобы горизонтальная плоскость проекций совпала с фронтальной, образуя одну плоскость чертежа.

Это преобразование осуществляется путем поворота вокруг оси X плоскости П| на угол 90° вниз. При этом образуют один отрезок, расположенный на перпендикуляре к оси проекций X, называемом линией связи.

Получили чертеж под названием эпюр Монжа.

Горизонтальная и фронтальная проекции всегда лежат на одной линии связи у перпендикулярной оси.

В зависимости от сложности для полного выявления форм деталей бывает необходимо три и более изображений. Поэтому вводят три и более плоскостей проекций.

Проецирование точки на три плоскости проекций. Комплексный чертеж точки.

Получили эпюр Монжа для трех плоскостей или комплексный чертеж точки А

— горизонтальная плоскость проекций — фронтальная плоскость проекций — профильная плоскость проекций — горизонтальная проекция точки А — фронтальная проекция точки А — профильная проекция точки А -образуют ось X -образуют ось Z -образуют ось Y

Две проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси.

— абсцисса точки А-координата — расстояние от А до — ордината точки А-координата — расстояние от А до аппликата точки А-координата — расстояние от А до

Проецирование на плоскости координат

Зададим (Рис. 1.3) прямоугольную систему координат Обозначим плоскости соответственно буквами Эти плоскости называют горизонтальной фронтальной и профильной плоскостями проекций.

Возьмём произвольную точку расположенную над плоскостью перед плоскостью и слева от плоскости Спроецируем эту точку прямоугольно на плоскости для чего опустим из точки перпендикуляры на данные плоскости. В точках пересечения перпендикуляров с упомянутыми плоскостями получим точки которые соответственно называются горизонтальной, фронтальной и профильной проекциями точки

Каждая пара проецирующих лучей определяет плоскость, параллельную плоскости координат и, следовательно, перпендикулярную к соответствующей оси координат. Так плоскость перпендикулярна к оси и пересекается с ней в точке , аналогичные рассуждения справедливы для плоскостей В результате проделанных построений получим параллелепипед, называемый параллелепипедом координат точки . Отрезки определяют расстояния от точки до плоскостей координат и называются координатами точки Обозначают: . Нетрудно заметить, что отрезки и численно равны координатам точки , т.е.

Таким образом, положение точки определяется тремя её координатами, а положение каждой из ее проекции — двумя координатами.

В общем случае плоскости (Рис. 1.4, а) делят пространство на восемь частей (трёхгранных углов) называемых октантами или координатными углами.

Причём для правой системы координат, изображённой на Рис. 1.4, а принята следующая нумерация углов:

Практически изображение выполняется на одной плоскости (листе бумаги, доске и т. п.), называемой плоскостью чертежа. С этой целью плоскость мысленно совмещают с плоскостью чертежа, а плоскости и совмещают с плоскостью вращением вокруг осей и в направлениях, указанных на Рис. 1.4, а стрелками. Изображение плоскостей и осей координат, совмещённых с плоскостью чертежа, показано на Рис. 1.4, б. Следует обратить внимание, что ось изображается дважды, совмещаясь соответственно с осями и .

Проецируемая точка может располагаться в любом из координатных углов (октантов). Поэтому для построения её проекций кроме численных значений координат необходимо учитывать их знаки.

Рассмотрим случай общего положения точки, т.е. случай, когда требуется построить проекции точки причём Сначала построим косоугольные проекции заданной точки. Для этого нанесём на чертеже оси координат и отложим на них заданные значения координат с учётом их знаков (Рис. 1.5, а). Получим точки . Далее строим горизонтальную , фронтальную и профильную проекции в точках пересечения прямых, проведённых из параллельно соответствующим осям координат. Изображение точки А получим в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к плоскостям проекций из точек

По полученному чертежу легко установить, что данная точка расположена в пятом октанте.

Построим прямоугольные проекции точки . Для этого на чертеже (см. Рис. 1.5, б) проводим оси координат Затем откладываем на осях заданные значения координат с учётом знака и получаем точки

При этом координата всегда откладывается дважды: на оси совмещённой с осью (вертикальная ось ), и на оси совмещённой с осью (горизонтальная ось ). Находим прямоугольные проекции точки в пересечении перпендикуляров, восстановленных из к соответствующим осям координат. Эти перпендикуляры показывают на чертеже тонкими сплошными линиями проекционной связи.

В частных случаях точка может быть расположена в одной из плоскостей координат или лежать на одной из осей (Рис. 1.6, а, б). При этом, если точка лежит в плоскости координат, то её проекция на данную плоскость совпадает с самой точкой, а две другие её проекции расположены на осях координат (см. Рис. 1.6, а). Если же точка лежит на оси координат, то две её проекции совпадают с самой точкой, а третья совпадает с началом координат (см. Рис. 1.6, б).

Аксонометрические проекции

Если оси прямоугольной системы координат и отнесённый к ним предмет спроецировать центрально или параллельно на некоторую плоскость, то полученное изображение называется аксонометрией. Рассмотрим наиболее часто употребляемые на практике виды аксонометрических проекций.

Косоугольным аксонометрическим проецированием на фронтальную плоскость называют косоугольное проецирование на плоскость, совмещённую с плоскостью прямоугольной координатной системы, к которой отнесён проецируемый предмет.

Возьмём прямоугольную координатную систему (Рис. 1.7, а) и спроецируем её косоугольно на плоскость , совмещённую с плоскостью данной системы. Проекции осей и на плоскость совпадают с этими осями. Начало координат тоже будет собственной проекцией. Остаётся спроецировать на плоскость ось

Для этого выберем на оси произвольную точку и спроецируем её на плоскость с помощью произвольного проецирующего луча, пересекающего плоскость например в точке . Прямая будет косоугольной проекцией оси на плоскость (ось ).

Если изменять направление проецирования, то на плоскости можно получить бесконечное множество изображений точки и соответственно осей Решение будет однозначным, если задать направление проецирования. Оно задаётся углами между проекциями осей координат и так называемыми коэффициентами искажения. Коэффициентом искажения для данной оси координат называется отношение длины проекции отрезка упомянутой оси к истинной длине самого отрезка.

При косоугольном проецировании на фронтальную плоскость (см. Рис. 1.7, а, б) имеем Для оси значение m может изменяться в пределах . Из соображений большей наглядности принимают m=0,5, а угол между проекциями осей и составляет 135° при Косоугольные проекции осей координат на фронтальную плоскость в совмещении с плоскостью чертежа показаны на Рис. 1.7, б.

Иногда данную проекцию называют косоугольной диметрией в связи с тем, что два измерения по оси и оси равны между собой (k = n = 1).

Прямоугольной изометрией называют случай прямоугольного проецирования на плоскость, одинаково наклонённую к трём плоскостям проекций. Такая плоскость проекций пересекает оси координат на равных расстояниях от начала координат.

Изобразим (Рис. 1.8, а) прямоугольную координатную систему и отложим на осях координат равные в натуре отрезки

Соединим попарно прямыми линиями точки Треугольник будет изображением части плоскости, равно наклонённой к плоскостям координат. Примем эту плоскость за плоскость проекций и спроецируем на неё прямоугольно оси координат. Точки являются собственными проекциями. Проекцию начала координат получим в точке пересечения перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость Тогда искомые проекции осей координат изображаются в виде прямых и проведённых из точки через точки Можно показать, что оси координат и проецируются с одинаковыми искажениями, причём натуральные коэффициенты искажения k=m=n=0,82. Углы между проекциями осей координат: Изометрические проекции осей координат в совмещении с плоскостью чертежа показаны на Рис. 1.8, б.

Если изометрическая проекция имеет целью выявление формы предмета (без наглядного отражения его размеров), то при построении точек допускается откладывать на осях значения координат точек с приведенными коэффициентами искажения, равными единице (k=m=n=l). При этом изображение предмета получается увеличенным в отношении 1,0/0,82=1,22.

Прямоугольной диметрией называют случай прямоугольного проецирования на плоскость, равно наклонённую к двум осям координат. Обычно проецируют на плоскость, равно наклонённую к плоскостям

Изобразим (Рис. 1.9, а) прямоугольную координатную систему и отложим на осях и равные в натуре отрезки По оси отложим произвольный отрезок не равный и Плоскость, определяемая треугольником одинаково наклонена к плоскостям и

Спроецируем на неё прямоугольно начало координат ( плоскости ) и оси координат ( — прямые, проведённые из точки через точки ). Поскольку . Следовательно, Значение коэффициента искажения m, исходя из условий получения наиболее наглядного изображения, принимают равным k/2=n/2. При этом k=n=0,94; m=0,47; На практике обычно принимают k=n=l, m=0,5. В этом случае линейные размеры изображения увеличиваются в отношении 1,0/0,94=1,06.

Диметрические проекции осей координат в совмещении с плоскостью чертежа показаны на Рис. 1.9, б.

Начертательная геометрия возникла из потребностей практической деятельности человека. Задачи строительства различных сооружений, крепостных укреплений, жилья, храмов требовали предварительного их изображения. От примитивных рисунков, передававших приближенные геометрические формы сооружений, постепенно совершался переход к составлению проекционных чертежей, отражавших геометрические свойства изображаемых на них объектов.

Выдающуюся роль в развитии начертательной геометрии как науки сыграл французский геометр и инженер Гаспар Монж, который систематизировал и обобщил накопленный к тому времени опыт и теоретические познания в области изображения пространственных фигур на плоскости. В своем труде «Начертательная геометрия», изданном в 1798 году, Г. Монж дал первое научное изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости.

Начертательная геометрия способствует развитию пространственного воображения и логического мышления.

Впервые отдельные правила и приемы построения изображений были систематизированы и развиты французским ученым Гаспаром Монжем (1746-1818). Изложенный Гаспаром Монжем метод параллельного проецирования является основным методом, используемым при выполнении технических чертежей в настоящее время.

Материал в учебном пособии изложен кратко в объеме, соответствующем количеству учебного времени, отведенного на изучение предмета. Теоретический материал сопровождается примерами решения задач. В конце каждой главы имеются вопросы для закрепления проработанного материала.

Может быть использовано в качестве учебного пособия при обучении студентов технического профиля очной и заочной форм обучения.

Свойства прямоугольного проецирования

Комплексный чертёж точки (эпюр точки)

Таким образом, какая-либо точка пространства А будет определяться тремя ее координатами:

Чтобы получить плоский чертеж точки А, плоскости Н и W вращают до совмещения с плоскостью V. Прямые , соединяющие проекции точки А, называются линиями связи и соответственно перпендикулярны к осям х и z. Проекции точки А определяются координатами: А’ (х,у), A» (x,z), А»‘ (у,z). Полученный эпюр точки будет обратимым чертежом.

Центральный метод проецирования

Чертежи, полученные методом центрального проецирования, отличаются большой наглядностью, поскольку построены на том же принципе, что и аппарат человеческого зрения. Однако такие чертежи сложно выполнять и измерять, поскольку размеры предмета искажаются.

Параллельный метод проецирования

Если центр проекций удалить в бесконечность, то угол между проецирующими лучами будет стремиться к нулю, и проецирующие лучи окажутся параллельными (рис. 2.2).

Свойства параллельных проекций

Рис. 2.3. Проекции параллельных прямых:
[AB ]//[DC] [A’ B’]//[D’ C’]

Ортогональные проекции

Рис. 2.4. Ортогональное проецирование:
s П’, ∣A’B ‘∣ = ∣AB»∣=∣AB∣ x cos α

Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования и имеет те же свойства.

Изображения, полученные при проецировании на одну плоскость проекций, не являются обратимыми, то есть задача о восстановлении оригинала по заданной проекции a´ не решается однозначно. Проекции всех точек, расположенных на проецирующем луче AA ´ на плоскость П’, совпадают.

Для получения обратимых чертежей нужны некоторые дополнительные условия. Например, изображаемый предмет жестко связывают с координатными осями и проецируют на плоскость вместе с ними. Такие чертежи называются аксонометрическими. Другой метод состоит в том, что предмет проецируют на несколько взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Такие чертежи называются ортогональными и именно они получили наибольшее распространение в технике.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник