Что такое перпендикулярные линии

Определение перпендикулярных прямых, их свойства, характеристика

Содержание:

В геометрии существует понятие параллельных и перпендикулярных прямых. Ко вторым относится особый вид пересечения простейших геометрических фигур. Рассмотрим, какие прямые называются перпендикулярными. После теоретической выкладки материала научим правильно чертить такие чертежи при помощи угольника. Также разберёмся, что такое перпендикуляр к прямой, его свойства, обозначение.

Перпендикулярные прямые: определение, свойства

Теперь вы понимаете, что значит перпендикулярные прямые.
Дана линия a (AB) и не лежащая на ней точка C. Соединяющий их отрезок CD называется перпендикулярным, если отрезок CD образует с AB прямые углы. Точка D – основание перпендикуляра.

Способы построения

Второй способ сложнее. Дана линия m с лежащей на ней точкой M: M ∈ m. Построить отрезок PQ, проходящий через точку M и пересекающий m под прямым углом.

Теперь разберёмся, как доказать, что отрезки (прямые) перпендикулярны. Для этого рассмотрим треугольник APB или AQB (из условий задачи они одинаковые).

Две стороны простейшего многоугольника построены по радиусам одинаковых кругов, значит, они равны по длине – получаем равнобедренный треугольник, где AP = PB. Из условий задачи AM = BM, значит MP – медиана равнобедренного треугольника (исходя из определения этого термина). Отрезок PM – высота геометрической фигуры, она перпендикулярна основанию: PM ⟂ AB, что требовалось доказать.

Проводим линию m и не лежащую на ней точку M. Рисуем окружность с центром M, пересекающую m в паре точек: A, B.

Чертим окружности с центрами в A и B, пересекающие M. Симметричную ей относительно прямой m точку обозначим N. Соединим их отрезком MN.

Докажем перпендикулярность MN линии m.

В треугольниках ANM с BNM равны стороны: AN = NB = AM = NB, AB – общая. Если три стороны треугольников равны, значит геометрические фигуры одинаковые: ∠АМС = ∠ВМС. Отрезки MC и CN – биссектрисы треугольников, где AB – основание. Далее, исходя из свойств равнобедренного треугольника, MC и CN – высоты геометрической фигуры, они перпендикулярны основанию. Получается, AB ⟂ MN.

Задача

Мы доказали, что CE ⟂ a.
Последний шаг: покажем, что из точки C к прямой a нельзя провести более одного перпендикуляра.
Предположим: из точки С на прямую a возможно опустить второй перпендикуляр CD1. Тогда получим △CDD1 уже с парой прямых углов, что невозможно – у треугольника более одного прямого угла быть не может. Значит, из точки C нельзя опустить более одного перпендикуляра.
Исходя из рассмотренного материала, следует закономерное свойство двух прямых a и b, перпендикулярных к третьей c: между собой они параллельны: a||b.

Перпендикулярные отрезки – это отрезки, пересекающиеся под углом 90°.

Источник

Перпендикулярные прямые — основные свойства, признаки и правила построения

В геометрии распространено понятие прямых. Они обозначаются двумя большими латинскими буквами или одной маленькой. При построении линии могут пересекаться и иметь только одну общую точку. Взаимно перпендикулярные прямые находятся относительно друг друга под углом 90°. Построение проводится при применении специальных инструментов.

Основные свойства

При рассмотрении того, какие прямые называют перпендикулярными, нужно уделить внимание свойствам. Они выглядят следующим образом:

Для обозначения перпендикуляра применяется знак «⊥». В подобном случае угол составляет 90°. На чертеже пересечение обозначается своеобразным квадратом, которые рисуется от двух пересекающихся линий.

Доказательство взаимного расположения

Рассматриваемый термин получил широкое распространение, он фигурирует практически в каждой геометрической задаче. В некоторых случаях о взаимном расположении известно, в других это нужно доказать. Задача доказательства заключается в определении прямого угла между двумя прямыми или плоскостями. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности заключается в теореме:

Для определения расположения плоскостей или отрезков относительно друг друга следует провести геометрическое построение. Проходить отрезки должны в одной точке.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Рассматривая определение перпендикулярных прямых следует учитывать, что подобное свойство применимо к плоскости. Основной признак заключается в перпендикулярности отрезка к любому другому, который находится в плоскости. Перпендикулярность прямых в пространстве указывается определенным знаком.

Доказать перпендикулярность можно проведя геометрические построения. Признаки расположения плоскости и прямой под углом 90° заключаются в следующем:

Отрезки могут быть также параллельными. В этом случае нет точки, в которой будут они пересекаться.

Построение перпендикуляра

Выдержать угловой коэффициент можно различным образом. В большинстве случаев для этого нужно иметь при себе циркуль. Построить перпендикуляр можно следующим образом:

Существенно упростить задачу можно путем применения специального чертежного инструмента, к примеру, любого прямоугольного треугольника. Он может называться угольником, основной его признак заключается в наличии двух перпендикулярных плоскостей. Построение проводится следующим образом:

В геометрии чаще всего применяется именно второй способ. Однако первый урок позволяет начертить два взаимно перпендикулярных отрезка с высокой точностью. Недостаток применения циркуля заключается в наличии вспомогательных линий, которые стереть сложно. Написать о взаимном расположении линий можно в описательной записке.

Трехмерное пространство

В начертательной геометрии линии всегда находятся в двухмерном пространстве. В специальных программах можно начертить отрезки в трехмерном пространстве. Подобное взаимное расположение может выглядеть следующим образом:

В жизни подобное расположение прямых встречается крайне часто. Проверить угол можно при применении специальных инструментов.

Четырехмерная система координат и лемма

Некоторые программы работают с четырехмерным пространством. Взаимное расположение плоскостей под прямым углом в этом случае имеет два смысла: они могут быть перпендикулярны в трехмерном смысле при образовании двугранного угла 90°.

Рассматриваться взаимное расположение плоскостей может и в 4-мерном смысле. Условия выглядят следующим образом:

Условия четырехмерного пространства определяют то, что через одну точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей. Определять их взаимное расположение можно несколькими различными способами.

Лемма, касающаяся перпендикулярности, связана с определением параллельности. Если одна из параллельных линий расположена под прямым углом относительно плоскости или отрезка, то вторая также перпендикулярна. Ответ на многие задачи связан с доказательством леммы:

При соблюдении условий полученный угол будет являться прямым. С учетом проведенных построений можно сформулировать определение перпендикулярности параллельных отрезков.

Применение термина

Как ранее было отмечено, встречается большое количество примеров применения рассматриваемого термина. На основе теоремы и доказательства были созданы различные формулы, позволяющие определить протяженность одного из сторон геометрической фигуры.

В средних и старших классах встречается большое количество задач, связанных с определением угла и протяженности сторон построенной фигуры. В некоторых случаях проводится построение диагонали, которая делит 90° на две равные части.

В жизни взаимное перпендикулярное расположение плоскостей встречается крайне часто. Примером служат несущие элементы различных сооружений. Подобное расположение позволяет правильно распределить оказываемую нагрузку. Править наклон можно путем применения специальных измерительных инструментов.

Многие геометрические фигуры построены на основе перпендикулярного расположения отрезков. Наиболее распространен параллелограмм или квадрат, треугольник. За счет выдерживания правильного угла обеспечивается также взаимное параллельное расположение сторон.

Приведенная выше информация указывает на то, что определение угла, под которым расположены плоскости, проводится в самых различных сферах. Инженеры и строители должны с высокой точностью контролировать этот показатель.

Источник

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Решение

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Источник

Какова формула перпендикулярной линии?

Перпендикулярные линии имеют противоположно-обратные откосы, Так что склон строки, которую мы хотим найти, составляет 1/2. Подставляя точку, заданную в уравнение y = 1 / 2x + b, и решая относительно b, мы получаем b = 6. Таким образом, уравнение прямой имеет вид y = ½x + 6. Переставив его, мы получаем –x / 2 + y = 6.

Аналогичным образом, как узнать, перпендикулярны ли линии?

Две линии перпендикулярны, если и только if их наклоны отрицательны. Чтобы найти наклон, мы должны представить уравнение в форме пересечения наклона, где равен наклону линия.

Кроме того, каков пример параллельных линий? Для того, чтобы получить пример, квадраты, прямоугольники и параллелограммы имеют стороны друг от друга, которые параллельно. Каждый линия имеет много параллелей. Любой линия имеющий тот же уклон, что и оригинал, никогда с ним не пересечется. Линии которые никогда не пересекутся, даже если будут продлены навсегда, параллельно.

Какой путь перпендикулярен?

Как выглядит перпендикуляр?

Как узнать, перпендикулярны ли линии?

Как выглядят перпендикулярные линии?

Можно ли изогнуть параллельные линии?

Что касается параллельные линии, нормальный линия к кривая также нормально к своим параллелям. Когда параллельные кривые построены они будем есть куспиды, когда расстояние от кривая соответствует радиусу кривизна. Это точки, где кривая касается эволюции.

Какова формула перпендикулярной линии?

Перпендикулярные линии имеют противоположно-обратные откосы, Так что склон строки, которую мы хотим найти, составляет 1/2. Подставляя точку, заданную в уравнение y = 1 / 2x + b, и решая относительно b, мы получаем b = 6. Таким образом, уравнение прямой имеет вид y = ½x + 6. Переставив его, мы получаем –x / 2 + y = 6.

Что такое перпендикуляр?

перпендикуляр(прил.) пересекающиеся или образующие прямые углы. «Топоры перпендикуляр друг другу» Синонимы: вертикальный.

Что делает линии параллельными?

Почему важны перпендикулярные линии?

С двух линий встречающиеся под углом 90 градусов перпендикуляр, ваш дом, район и класс полны перпендикулярные линии. Перпендикулярные линии Помогите убедиться, что ваша столешница плоская. Они означают, что ящики на вашем комоде можно легко открывать и закрывать, а дверцы остаются закрытыми, когда вы их закрываете.

Можно ли изогнуть параллельные линии?

Что касается параллельные линии, нормальный линия к кривая также нормально к своим параллелям. Когда параллельные кривые построены они будем есть куспиды, когда расстояние от кривая соответствует радиусу кривизна. Это точки, где кривая касается эволюции.

Что такое параллельные стороны?

Две стороны или линии параллельно если это линии, которые всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и никогда не будут пересекаться или касаться друг друга.

Какой путь параллельный?

Конгруэнтны ли параллельные линии?

Как найти прямую, параллельную уравнению?

Какой пример параллельных линий?

Параллельные линии двое или больше линий которые никогда не пересекаются. Примеры параллельных линий все вокруг нас, в двух стороны этой страницы и на полках книжного шкафа.

Что означает перпендикуляр?

Компланарны ли параллельные линии?

Две линии параллельные линии если они копланарный и не пересекаются. Линии которые не являются копланарный и не пересекаются, называются перекосом линий. Две плоскости, которые не пересекаются, называются параллельно самолеты.

Прямоугольник перпендикулярен?

Конгруэнтны ли параллельные линии?

Если два параллельные линии пересекаются трансверсалью, соответствующие углы равны конгруэнтный. Если два линий пересекаются трансверсалью, а соответствующие углы равны конгруэнтный, линии параллельны. Внутренние углы на одной стороне поперечного сечения: Название представляет собой описание «местоположения» этих углов.

Что делает линии параллельными?

Ни один из линия сегменты перпендикуляр или параллельно. Эти буквы имеют нет линия сегменты: C, O, S. В зависимости от шрифта (или вашего почерка) Q может содержать или не содержать линия сегмент. Нижний регистр письмена «I» и «j» отличаются от всех заглавных букв письмена потому что они отключены.

Как вы описываете параллельные линии?

Компланарны ли параллельные линии?

Две линии параллельные линии если они копланарный и не пересекаются. Линии которые не являются копланарный и не пересекаются, называются перекосом линий. Две плоскости, которые не пересекаются, называются параллельно самолеты.

Может ли линия быть параллельной и перпендикулярной?

Параллельные и перпендикулярные линии. Если два не вертикальных линий которые находятся в одной плоскости, имеют одинаковый наклон, то они называются параллельно, Два параллельные линии никогда не пересекутся. Если два не вертикальных линий в одной плоскости пересекаются под прямым углом, тогда они называются перпендикуляр.

Может ли линия быть параллельной и перпендикулярной?

Обратите внимание, что два линий Он параллельно если их наклоны равны и у них разные точки пересечения по оси y. Другими словами, перпендикулярные уклоны являются отрицательными обратными друг другу. Вот краткий обзор формы наклона / пересечения линия.

Все ли пересекающиеся линии перпендикулярны?

Пояснение: Любые два линий на плоскости, которые имеют ровно одну общую точку, называются пересекающий. Когда два линии пересекаются, они образуют четыре угла, каждый из которых имеет вершину в точке пересечения. Если каждый из этих четырех углов составляет 90o, пересекающиеся линии называются перпендикуляр.

Что означает биссектриса?

A биссектриса это то, что разрезает объект на две равные части. Применяется к углам и отрезкам линий. В глагольной форме мы говорим, что он делит другой объект пополам.

Что такое перпендикулярные изображения?

Линия считается перпендикуляр к другой линии, если она встречается или пересекает линию под прямым углом или под углом 90 градусов. Увидеть фотографии ниже. Линия 1 пересекает линию 2 под прямым углом. На этом рисунке линия AB перпендикуляр до линии MB, и символом для нее является AB ⊥ MN.

Сколько перпендикулярных линий у прямоугольника?

Снова посмотрим на прямоугольник на нашем экране. Подобно квадрату, прямоугольник имеет линии, перпендикулярные два другие строки. Это означает, что он также имеет четыре прямых угла.

Что такое перпендикулярная диагональ?

A биссектриса это то, что разрезает объект на две равные части. Применяется к углам и отрезкам линий. В глагольной форме мы говорим, что он делит другой объект пополам.

Должны ли перпендикулярные линии соприкасаться?

Когда два линий Он перпендикуляр, наклон одного из них является отрицательным, обратным другому. Также обратите внимание, что линий в do не иметь пересекаться быть перпендикуляр. На рис. 1 два линий Он перпендикуляр друг другу, хотя они do не трогать.

Какой путь параллельный?

Источник

Основные свойства

При рассмотрении того, какие прямые называют перпендикулярными, нужно уделить внимание свойствам. Они выглядят следующим образом:

Для обозначения перпендикуляра применяется знак «⊥». В подобном случае угол составляет 90°. На чертеже пересечение обозначается своеобразным квадратом, которые рисуется от двух пересекающихся линий.

Доказательство взаимного расположения

Рассматриваемый термин получил широкое распространение, он фигурирует практически в каждой геометрической задаче. В некоторых случаях о взаимном расположении известно, в других это нужно доказать. Задача доказательства заключается в определении прямого угла между двумя прямыми или плоскостями. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности заключается в теореме:

Для определения расположения плоскостей или отрезков относительно друг друга следует провести геометрическое построение. Проходить отрезки должны в одной точке.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Рассматривая определение перпендикулярных прямых следует учитывать, что подобное свойство применимо к плоскости. Основной признак заключается в перпендикулярности отрезка к любому другому, который находится в плоскости. Перпендикулярность прямых в пространстве указывается определенным знаком.

Доказать перпендикулярность можно проведя геометрические построения. Признаки расположения плоскости и прямой под углом 90° заключаются в следующем:

Отрезки могут быть также параллельными. В этом случае нет точки, в которой будут они пересекаться.

Построение перпендикуляра

Выдержать угловой коэффициент можно различным образом. В большинстве случаев для этого нужно иметь при себе циркуль. Построить перпендикуляр можно следующим образом:

Существенно упростить задачу можно путем применения специального чертежного инструмента, к примеру, любого прямоугольного треугольника. Он может называться угольником, основной его признак заключается в наличии двух перпендикулярных плоскостей. Построение проводится следующим образом:

В геометрии чаще всего применяется именно второй способ. Однако первый урок позволяет начертить два взаимно перпендикулярных отрезка с высокой точностью. Недостаток применения циркуля заключается в наличии вспомогательных линий, которые стереть сложно. Написать о взаимном расположении линий можно в описательной записке.

Трехмерное пространство

В начертательной геометрии линии всегда находятся в двухмерном пространстве. В специальных программах можно начертить отрезки в трехмерном пространстве. Подобное взаимное расположение может выглядеть следующим образом:

В жизни подобное расположение прямых встречается крайне часто. Проверить угол можно при применении специальных инструментов.

Четырехмерная система координат и лемма

Некоторые программы работают с четырехмерным пространством. Взаимное расположение плоскостей под прямым углом в этом случае имеет два смысла: они могут быть перпендикулярны в трехмерном смысле при образовании двугранного угла 90°.

Рассматриваться взаимное расположение плоскостей может и в 4-мерном смысле. Условия выглядят следующим образом:

Условия четырехмерного пространства определяют то, что через одну точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей. Определять их взаимное расположение можно несколькими различными способами.

Лемма, касающаяся перпендикулярности, связана с определением параллельности. Если одна из параллельных линий расположена под прямым углом относительно плоскости или отрезка, то вторая также перпендикулярна. Ответ на многие задачи связан с доказательством леммы:

При соблюдении условий полученный угол будет являться прямым. С учетом проведенных построений можно сформулировать определение перпендикулярности параллельных отрезков.

Применение термина

Как ранее было отмечено, встречается большое количество примеров применения рассматриваемого термина. На основе теоремы и доказательства были созданы различные формулы, позволяющие определить протяженность одного из сторон геометрической фигуры.

В средних и старших классах встречается большое количество задач, связанных с определением угла и протяженности сторон построенной фигуры. В некоторых случаях проводится построение диагонали, которая делит 90° на две равные части.

В жизни взаимное перпендикулярное расположение плоскостей встречается крайне часто. Примером служат несущие элементы различных сооружений. Подобное расположение позволяет правильно распределить оказываемую нагрузку. Править наклон можно путем применения специальных измерительных инструментов.

Многие геометрические фигуры построены на основе перпендикулярного расположения отрезков. Наиболее распространен параллелограмм или квадрат, треугольник. За счет выдерживания правильного угла обеспечивается также взаимное параллельное расположение сторон.

Приведенная выше информация указывает на то, что определение угла, под которым расположены плоскости, проводится в самых различных сферах. Инженеры и строители должны с высокой точностью контролировать этот показатель.

Источник