Эвклидовое понимание что это

Евклидова (элементарная) геометрия

Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».

Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».

В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:

Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.

В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:

Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире. Углубленное проникновение в суть геометрии привело к более абстрактному пониманию науки. Более поздние достижения и открытие показали, что наши представления о пространстве являются априорными, то есть чисто умозрительные. Таким образом было поставлено под сомнение существование единственной геометрии. бурное развитие физики и астрономии, доказало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего пространства, но вовсе не способна описать свойства пространства, связанные с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Русский математик Н. И. Лобачевский разработал новую неевклидову геометрию, которая приблизилась к реальному описанию физического пространства.

Источник

Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

,

где и .

Содержание

Связанные определения

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

Более абстрактный пример:

Вариации и обобщения

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Евклидово пространство» в других словарях:

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к рых скалярное произведение ( ху )векторов х … Физическая энциклопедия

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение … Большой Энциклопедический словарь

Евклидово пространство — пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а… … Начала современного естествознания

Евклидово пространство — [Eu­c­lidean space] см. Многомерное (n мерное) векторное пространство, Векторное (линейное) пространство … Экономико-математический словарь

евклидово пространство — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN Cartesian space … Справочник технического переводчика

евклидово пространство — пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называют n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. * * * ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДОВО… … Энциклопедический словарь

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, свойства к рого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании Е. п. наз. n мерное векторное пространство, в к ром определено скалярное произведение … Естествознание. Энциклопедический словарь

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, свойства к рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. конечномерное действительное векторное пространствоRn со скалярным произведением( х, у), х, к рое в надлежащим образом выбранных координатах… … Математическая энциклопедия

Евклидово пространство — (в математике) пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия). В более общем смысле Е. п. называется n мepное Векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные… … Большая советская энциклопедия

Источник

Аксиома параллельности Евклида

Аксио́ма паралле́льности Евкли́да, или пя́тый постула́т — одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида: [1]

И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.

Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так [2] :

Если [на плоскости] при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Содержание

Эквивалентные формулировки постулата о параллельных

В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу [4] (за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера):

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

В этой формулировке слова «одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или «не более одной», так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида.

Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.

Если вместо V постулата допустить, что для пары точка—прямая V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.

Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных, он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.

Абсолютная геометрия

Если из списка аксиом исключить V постулат, то полученная система аксиом будет описывать так называемую абсолютную геометрию. В частности, первые 28 теорем «Начал» Евклида доказываются без использования V постулата и поэтому относятся к абсолютной геометрии. Для дальнейшего отметим две теоремы абсолютной геометрии:

Попытки доказательства

Математики с давних времён пытались «улучшить Евклида» — либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что IV постулат Евклида (все прямые углы равны) действительно оказался лишним — он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом. [5]

За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.

Прокл (V век н. э.) в «Комментарии к I книге Начал Евклида» сообщает, что такое доказательство предложил Клавдий Птолемей, критикует его доказательство и предлагает своё собственное. [13] В несколько упрощённом виде его можно описать так: пусть прямая проходит через заданную точку параллельно прямой ; докажем, что любая другая прямая , проведенная через ту же точку, пересекается с прямой . Как упоминалось выше, расстояние между прямыми от точки их пересечения возрастает неограниченно (ещё раз подчеркнём, что доказательство этой теоремы не опирается на V постулат). Но тогда в конце концов расстояние между и превысит расстояние между параллельными прямыми, то есть прямые и пересекутся.

Приведенное доказательство опирается на допущение, что расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно (или, по крайней мере, ограничено). Впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно V постулату.

Аналогичную ошибку сделал ибн ал-Хайсам, но он впервые рассмотрел фигуру, позже получившую название «четырёхугольник Ламберта» — четырёхугольник, у которого три внутренних угла — прямые. Он сформулировал три возможных варианта для четвёртого угла: острый, прямой, тупой. Обсуждение этих трёх гипотез, в разных вариантах, многократно возникало в позднейших исследованиях.

Ал-Абхари предложил доказательство, сходное с доказательством ал-Джаухари. (Это доказательство приводит в своей книге ас-Самарканди, и ряд исследователей считал его доказательством ас-Самарканди.) Он исходит из верного в абсолютной геометрии утверждения о том, что для всякой прямой, пересекающей стороны данного угла, может быть построена ещё одна прямая, пересекающая стороны этого же угла и отстоящая от его вершины дальше, чем первая. Но из этого утверждения он делает логически необоснованный вывод о том, что через всякую точку внутри данного угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла, — и основывает на этом последнем утверждении, эквивалентном V постулату, всё дальнейшее доказательство.

В целом можно сказать, что все перечисленные попытки принесли немалую пользу: была установлена связь между V постулатом и другими утверждениями, были отчётливо сформулированы две альтернативы V постулату — гипотезы острого и тупого угла.

Первые наброски неевклидовой геометрии

Видимо, Саккери чувствовал необоснованность этого «доказательства», потому что исследование продолжается. Он рассматривает эквидистанту — геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери понимает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем». К сожалению, пионерская работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет (1889) его соотечественник Бельтрами обнаружил этот забытый труд и оценил его историческое значение.

Во второй половине XVIII века было опубликовано более 50 работ по теории параллельных. В обзоре тех лет (Г. С. Клюгель) исследуется более 30 попыток доказать V постулат и доказывается их ошибочность. Известный немецкий математик и физик И. Г. Ламберт, с которым Клюгель переписывался, тоже заинтересовался проблемой; его «Теория параллельных линий» была издана (как и труд Саккери, посмертно) в 1786 году.

Ламберт первым обнаружил, что «геометрия тупого угла» реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и Саккери, вывел из «гипотезы острого угла» множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.

В своей книге Ламберт проницательно отметил: [25]

Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза [тупого угла] оправдывается, если вместо плоских треугольников взять сферические. Я из этого почти должен был бы сделать вывод — заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере. Во всяком случае, должна же существовать причина, почему она на плоскости далеко не так легко поддаётся опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй гипотезы.

Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла и пришёл к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны. Он не высказал каких-либо сомнений в ложности «геометрии острого угла», однако, судя по другому его проницательному замечанию, Ламберт размышлял о возможной физической реальности неевклидовой геометрии и о последствиях этого для науки [26] :

Замечательная работа Ламберта, как и книга Саккери, далеко опередила своё время и не вызвала интереса у тогдашних математиков. Та же судьба постигла «астральную геометрию» немецких математиков Ф. К. Швейкарта (1817) и Ф. А. Тауринуса (1826), по идеям близкую к построенной Ламбертом.

Тем временем попытки «смыть пятна» с Евклида продолжались (Луи Бертран, Лежандр, Семён Гурьев и другие). Лежандр дал целых три доказательства V постулата, ошибочность которых быстро показали его современники. [27] Последнее «доказательство» он опубликовал в 1823 году, за три года до первого доклада Лобачевского о новой геометрии.

Открытие неевклидовой геометрии

Первым был Гаусс. Он не публиковал никаких работ на эту тему, но его черновые заметки и несколько писем однозначно подтверждают его глубокое понимание неевклидовой геометрии. Вот несколько характерных отрывков из писем Гаусса, где впервые в науке появляется термин «неевклидова геометрия»: [28]

Допущение, что сумма трёх углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, совершенно отличной от нашей (евклидовой) геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил ее для себя совершенно удовлетворительно; я имею возможность решить в этой геометрии любую задачу, за исключением определения некоторой постоянной [кривизны], значение которой a priori установлено быть не может. Чем большее значение мы придадим этой постоянной, тем ближе мы подойдем к евклидовой геометрии, а бесконечно большое её значение приводит обе системы к совпадению. Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного. Так, например, все три угла треугольника можно сделать сколь угодно малыми, если только взять достаточно большие стороны; площадь же треугольника не может превысить, даже не может достичь некоторого предела, как бы велики ни были его стороны. Все мои старания найти в этой неевклидовой геометрии противоречие или непоследовательность остались бесплодными, и единственное, что в этой системе противится нашему разуму, это то, что в пространстве, если бы эта система была справедлива, должна была бы существовать некоторая сама по себе определенная (хотя нам и неизвестная) линейная величина. Но мне кажется, что мы, кроме ничего не выражающей словесной мудрости метафизиков, знаем очень мало или даже не знаем ничего о сущности пространства. (Из письма к Тауринусу, 1824)

В 1818 году в письме к австрийскому астроному Герлингу Гаусс выразил свои опасения: [29]

Ознакомившись с работой Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных», Гаусс энергично ходатайствует об избрании русского математика иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества (что и произошло в 1842 году).

Источник

Трехмерный мир, в котором мы не живем

Еще древние греки превратили математику из эмпирической науки в дедуктивную, потребовав вывода доказательств ее утверждений из основных понятий и исключив ссылку на опыт в качестве аргумента.

Чистая математика исследует формы и отношения в отвлечении от материального содержания. Ее непосредственным предметом оказываются, например, не те или иные тела шарообразной формы, а «идеальный шар», не те или иные совокупности предметов и даже не отдельные числа, а целые числа вообще и т. п.

Однако при всей абстрактности этой науки никто из математиков, по-видимому, не сомневался в том, что все их понятия, теоремы и формулы выражают реальные количественные и пространственные отношения. Математическая геометрия была теорией реального пространства, как позже механика явилась теорией движения

Математика — наука, изучающая
количественные и пространственные
формы и отношения действительности
Академик А. Д. Александров

Окружающий нас мир трехмерен. Мы привыкли к этой мысли с рождения — каждый человек знает, что такое высота, длина и ширина, три основных измерения окружающего нас пространства. В зависимости от традиций, принятых в разных странах, размеры предметов измеряют в метрах, футах, ли, лье и других эталонных единицах длины. Для наших дальнейших рассуждений выберем немного необычную единицу длины. Ею будет служить один световой год (1 св. г.), т. е. расстояние, проходимое лучом света за один календарный год. В традиционных мерах длины это составляет невообразимую величину — примерно 9,46•10 12 километров.

Если из окружающего нас пространства мысленно вырезать куб с ребром, равным 1 св. году, то внутри благополучно разместится дом, в котором мы живем, земной шар, Солнечная система… В общем, все, что необходимо для нормальной жизни человека. Для удобства назовем рассмотренный нами куб единичным кубом. А теперь отметим следующий очевидный факт. Несмотря на громадные размеры, наш единичный куб — лишь мельчайшая частица окружающего мира.

Кстати сказать, в этом определении размеры самого куба не задаются — вовсе не обязательно использовать кубы больших размеров. С таким же успехом можно утверждать, что каждая точка содержится в кубе, ребро которого не превосходит по длине, скажем, один микрон (10 —6 см).

Все сказанное выше кратко можно выразить следующими словами: окружающий нас мир является трехмерным евклидовым многообразием. А теперь попробуем ответить на следующий вопрос: как устроен мир за пределами единичного куба, в котором находится наш дом — наша Солнечная система?

Трехмерный тор и другие

Если на минуту вообразить, что окружающее нас пространство бесконечно по всем направлениям, то ответ на вопрос о строении окружающего нас мира даст следующая теорема Адамара:

«Бесконечно протяженное по всем направлениям трехмерное евклидово многообразие М 3 совпадает с евклидовым пространством E 3 ».

Евклидово пространство Е 3 с прямоугольной системой координат всем хорошо известно, поэтому не будем подробно останавливаться на изучении его свойств.

Для того же, чтобы сделать наши рассуждения более содержательными и интересными, предположим другой вариант: окружающий нас мир замкнут, т. е. имеет конечные размеры и не имеет края. Другими словами, зададимся вопросом, как устроены замкнутые трехмерные евклидовы многообразия, или, другими словами, евклидовы формы. Полный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Дж. Вольфом (1982):

Существует ровно десять трехмерных евклидовых форм. Причем шесть из них представляют собой ориентируемые, а остальные четыре — неориентируемые многообразия.

Все евклидовые формы строятся схожим образом, единственное — для построения некоторых из них нужно использовать куб, а для других — правильную шестиугольную призму.

Для этого в центре грани А трехмерного тора поместим космический корабль, летящий со скоростью света, и заставим его стартовать в вертикальном направлении. Ровно через год космический корабль, продолжая двигаться по прямой, вернется в исходную точку. Теперь эта точка будет находиться в центре грани А’, которая, по условию, отождествлена с гранью А. В результате эксперимента обнаружим, что в трехмерном торе Т 3 существует замкнутая прямая линия l длиной в один световой год.

Поставим еще один аналогичный эксперимент. Заставим космический корабль стартовать из точки у, лежащей в грани А на расстоянии 1 км от ее центра. Через год корабль благополучно вернется в точку у. Вывод из второго эксперимента — через точку у проходит замкнутая прямая длиной 1 световой год, параллельная прямой l.

Многообразные многообразия

Как уже было замечено, все рассмотренные выше многообразия обладают евклидовой геометрией. Что это означает и какие еще геометрии существуют?

Наиболее известными и употребимыми в общечеловеческой практике являются евклидова, сферическая и гиперболическая геометрии. Напомним, что сферическую геометрию иногда называют геометрией Римана, а гиперболическую — геометрией Лобачевского. В трехмерном пространстве, кроме трех указанных, существует еще пять так называемых синтетических геометрий.

В соответствии с тем, какие геометрические законы действуют на трехмерном многообразии, будем называть его соответственно евклидовым, сферическим, гиперболическим или синтетическим.

Евклидовы многообразия мы уже рассмотрели выше. Что до остальных, то более двадцати лет назад У. Терстон (1978) доказал замечательную теорему: почти все трехмерные многообразия являются гиперболическими, то есть подчиняются законам геометрии Лобачевского. За этот результат в 1983 году он был удостоен Филдсовской премии — самой престижной награды для математиков.

Сферические многообразия бывают как трехмерные, так и многомерные (Вольф, 1982). В пространстве любой размерности существует конечное число типов таких многообразий. Синтетических многообразий очень мало (Thurston, 1978; Dunbar, 1981; Терстон, 2001) в отличие от оставшегося класса гиперболических многообразий. Последний неисчерпаемо широк и классификация его к настоящему времени не завершена.

Сферические многообразия

Все трехмерные сферические многообразия — ориентируемы. Это означает, что по какой бы замкнутой траектории не летал космический корабль с непрерывно вращающимся пропеллером, по возвращении в точку старта его пропеллер вращается в ту же сторону, что и в момент старта.

Третий, и пожалуй, самый нетривиальный пример сферического многообразия — сферическое пространство додекаэдра Пуанкаре или, для краткости, сфера Пуанкаре.

Сфера Пуанкаре удивительным образом связана с самыми различными разделами математики — геометрией, топологией, теорией групп, теорией катастроф, теорией узлов и другими (Кирби, Шарлеман, 1982).

Все остальные сферические многообразия, получаемые по единой схеме, представляют собой так называемые линзовые и призматические пространства.

Гиперболические многообразия

Первое трехмерное замкнутое гиперболическое многообразие было построено немецким математиком Ф. Лебеллем в 1931 г. Однако построение его было достаточно сложным, поэтому двумя годами позже Х. Зейферт и К. Вебер предложили элегантную конструкцию гиперболического пространства додекаэдра.

С точки зрения математики наиболее сложная часть проблемы построения состоит в доказательстве существования этого гиперболического додекаэдра в пространстве Лобачевского. Положительный ответ на этот вопрос дает фундаментальная теорема Е. М. Андреева (1970), в которой сформулированы необходимые и достаточные условия для существования выпуклых гиперболических многогранников. Эта теорема служит одним из краеугольных камней современной теории гиперболических многообразий, созданной У. Терстоном.

Конструируем многообразия из многогранников

Рассмотрим прямоугольный многогранник Р, все двугранные (и плоские) углы которого равны 90°. В евклидовом пространстве в качестве такого многогранника можно взять куб, в сферическом — тетраэдр, а в гиперболическом — шестиугольную призму Лебелля, боковая поверхность которой состоит из 12-ти пятиугольников.

Из теоремы Андреева следует, что любой многогранник, у которого нет треугольных и четырехугольных граней, а в каждой вершине сходится ровно по три ребра, может быть реализован как прямоугольный многогранник в пространстве Лобачевского. Шестиугольная призма Лебелля, очевидно, удовлетворяет этим условиям.

Для построения гиперболических многообразий используется способ, заключающийся в окраске смежных граней многогранника в разные цвета и последующего отождествления соответствующих граней, окрашенных в один цвет, у нескольких одинаковых экземпляров многогранников. Такой способ построения многообразий был впервые реализован Ф. Лебеллем (Loebell, 1931) для шестиугольной призмы, японским математиком М. Такахаши (Takahashi, 1985) — для правильного прямоугольного додекаэдра и А. Ю. Весниным (1987) — для произвольного прямоугольного многогранника Р.

При этом отметим, что все многообразия, построенные по окраске многогранника в четыре цвета, ориентируемы. Однако доказано, что окрашивая грани многогранника Р в пять, шесть или семь цветов, по аналогичной схеме можно построить и неориентируемые многообразия (Mednykh, 1992).

Остановимся еще на одном свойстве прямоугольных многогранников. Пусть D — правильный прямоугольный додекаэдр в пространстве Лобачевского. Испанский математик Х.-М. Монтезинос (Hilden et al., 1987) доказал следующую замечательную теорему:

«Любое замкнутое трехмерное многообразие может быть получено из конечного числа экземпляров многогранника D попарным отождествлением их граней».

Отметим, что в теореме Монтезиноса все грани склеенных многогранников — конгруэнтны, а все ребра имеют одинаковую длину. При этом каждое ребро окружено четырьмя, двумя или одним додекаэдром. Первую ситуацию легко представить: четыре прямоугольных додекаэдра склеены друг за другом вокруг общего ребра и образуют суммарный угол, равный 4•90° = 360°. Во втором случае пара смежных граней одного додекаэдра отождествляется с парой смежных граней другого додекаэдра. Суммарный двугранный угол вокруг ребра, принадлежащего двум додекаэдрам, в этом случае равен 2•90° = 180°. Третий вариант легко создать, отождествляя смежные грани одного додекаэдра поворотом на угол 90°.

Наличие ребер второго и третьего типа превращает многообразие в многообразие с особенностями, или орбифолд. В этом случае указанные ребра образуют сингулярное множество орбифолда. Заметим, что всюду, кроме сингулярных ребер, многообразие обладает геометрией Лобачевского.

Трехмерные орбифолды

Евклидовы орбифолды

Для всякого трехмерного евклидова орбифолда существует фундаментальное множество — криволинейный многогранник, из которого заданный орбифолд можно получить, попарно отождествляя (склеивая) определенные его грани.

Примерами евклидовых орбифолдов могут служить так называемые Борромеевы кольца или трехмерная сфера с сингулярным множе­ством узел «восьмерка».

Всего существует 230 замкнутых трехмерных евклидовых орбифолдов — по числу кристалло­графических групп, открытых в конце прошлого века русским ученым Е. С. Федоровым. Строение евклидовых орбифолдов было полностью описано в докторской диссертации У. Данбара, защищенной в 1981 г. в Принстонском университете — крупнейшем математическом центре мира.

Сферические орбифолды

Сингулярным множеством сферических орбифолдов может служить так называемый рациональный узел или зацепление. Им может оказаться также заузленный граф, из каждой вершины которого выходит по три ребра. В частности, сингулярным множеством сферического орбифолда будет являться скелет тетраэдра (ребра + вершины), расположенный в трехмерной сфере.

q > l. В сферическом пространстве S ³ рассмотрим линзу с углом, равным π/р и поделим ее ребро точками 1,2. 2р на 2р равных частей. Соединим пары точек <р, 2р>и сферическими дугами, лежащими по разные стороны линзы. Поворотами на 180° в построенных дугах отождествим половины граней линзы A,A’ и B,B’. В случаях p/q = 2/1 мы получим, соответственно, зацепление Хопфа, состоящее из двух сцепленных окружностей; в случае p/q = 3/1 — узел «трилистник»; при p/q = 5/3 — уже описанный узел «восьмерка»» border=»0″ alt=»Пусть p/q — несократимая дробь с условием p > q > l. В сферическом пространстве S ³ рассмотрим линзу с углом, равным π/р и поделим ее ребро точками 1,2. 2р на 2р равных частей. Соединим пары точек <р, 2р>и сферическими дугами, лежащими по разные стороны линзы. Поворотами на 180° в построенных дугах отождествим половины граней линзы A,A’ и B,B’. В случаях p/q = 2/1 мы получим, соответственно, зацепление Хопфа, состоящее из двух сцепленных окружностей; в случае p/q = 3/1 — узел «трилистник»; при p/q = 5/3 — уже описанный узел «восьмерка»» />

При этом следует иметь ввиду, что сильные заузливания тетраэдра могут испортить сферическую геометрию и заставить орбифолд обладать евклидовой, гиперболической или одной из синтетических геометрий.

Недавно австралийцами профессором К. Ходжсоном и его учеником Д. Хеардом создана компьютерная программа, позволяющая вычислять объемы заузленных графов, вложенных в трехмерную сферу (Hodgson and Heard, 2005). Полная классификация трехмерных орбифолдов во всех геометриях, кроме гиперболической, сделана в работах У. Данбара. Как и в случае многообразий, гиперболическая геометрия является наиболее богатой, и полное описание орбифолдов в ней до сих пор не получено.

Гиперболические орбифолды

Из теоремы Монтезиноса следует, что каждое трехмерное многообразие может быть превращено в гиперболический орбифолд, если внутрь его поместить подходящее сингулярное множество. Поскольку существует бесконечно много различных многообразий, отсюда следует, что существует также бесконечно много гиперболических орбифолдов.

Один из простейших гиперболических орбифолдов — трехмерная сфера с сингулярным множеством Борромеевы кольца с индексом сингулярности 4. Другой пример — сильно заузленный тетраэдр, все ребра которого имеют индекс сингулярности два. Доказательство таких фактов обычно достаточно сложно и может быть проведено с помощью теорем о геометризации, полученных У. Терстоном, его учениками и последователями. Общий принцип доказательства состоит в следующем: если орбифолд не является евклидовым, сферическим или синтетическим и удовлетворяет некоторым простым геометрическим условиям, то он — гиперболический.

Изменения, произошедшие в математике за последние более чем полтора века, не только необозримо расширили ее содержание, но и изменили его принципиально. В предмет математики сейчас входит любая структура, которую можно исследовать путем логического рассуждения с достаточной строгостью и богатством выводов. Найдет ли она применение и прообраз в действительности — это уже вопрос не к математике.

Понятно, что фактически наибольшее развитие получают те теории, которые находят существенные применения в самой математике и тем более за ее пределами. Хотя опыт развития науки уже достаточное число раз показал, как самые отвлеченные теории находили потом чрезвычайно существенные приложения. Но для самой чистой математики это в принципе безразлично. Лучше всего творческое кредо новой математики выразил создатель теории множеств Г. Кантор, гордо зявив: «Сущность математики. в ее свободе».

Винберг Э. Б. О неевлидовой геометрии, Соросовский образовательный журнал, № 3, 1996, С. 104—109.

Тёрстон У. Трехмерная геометрия и топология, М: МЦНМО, 2001 (Перевод с англ. под ред. О. В. Шварцмана).

Hodgson C., Heard D. Computer program “Orb”, August 2005, http://www.ms.unimelb.edu.au/

Работа поддержана грантом РФФИ (№ 06-01-00153) и INTAS (№ 03-01-3663)

Автор и редакция выражает искреннюю благодарность Н. В. Абросимову (вед. инженеру Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, студенту 6-го курса НГУ), оказавшему неоценимую помощь при подготовке публикации

Источник