Как поделить сумму на число
Свойства деления
Деление произведения на число
Произведение можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно сначала умножить 12 на 5:
и полученное произведение разделить на 3:
значит (12 · 5) : 3 = 60 : 3 = 20.
Если один из сомножителей делится на число, на которое надо разделить произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления произведения на число.
2) Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно разделить на это число один любой сомножитель, оставив другие без изменений.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно сначала разделить любой из сомножителей (8 или 20) на 4:
и полученное частное умножить на другой сомножитель:
значит (8 · 20) : 4 = (8 : 4) · 20 = 2 · 20 = 40.
Данное выражение можно решить ещё так:
(8 · 20) : 4 = 8 · (20 : 4) = 8 · 5 = 40.
Деление числа на произведение
Число можно разделить на произведение двумя способами:
1) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение), а затем разделить число на полученный результат.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно сначала умножить 3 на 2:
и разделить 60 на полученный результат:
значит 60 : (3 · 2) = 60 : 6 = 10.
Если число, которое нужно разделить на произведение, делится на каждый сомножитель, из которого состоит данное произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления числа на произведение.
2) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, это частное на третий и т. д.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно сначала разделить 120 на 5:
а теперь, полученное частное 24 разделить на 3:
значит 120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8.
Так как от перестановки множителей произведение не изменится, то множители можно поменять местами:
и разделить 120 сначала на 3, а затем полученный результат разделить на 5:
120 : (3 · 5) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8.
Получается, что не важно на какой множитель сначала делить число, результат будет одинаковым:
120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8
120 : (5 · 3) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8.
Из данного примера можно сделать вывод, что значение частного не изменится от порядка выполнения действий.
Деление суммы на число
Сумму можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение суммы (выполнить сложение) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно сначала сложить числа 15 и 12:
и полученную сумму разделить на 3:
значит (15 + 12) : 3 = 27 : 3 = 9.
Если все слагаемые в записи суммы делятся на число, на которое надо разделить сумму, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления суммы на число.
2) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно каждое слагаемое разделить на число 7:
42 : 7 = 6, 28 : 7 = 4 и 70 : 7 = 10;
и полученные частные (6, 4 и 10) сложить:
значит (42 + 28 + 70) : 7 = 42 : 7 + 28 : 7 + 70 : 7 = 6 + 4 + 10 = 20.
Деление разности на число
Разность можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение разности (выполнить вычитание) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно сначала вычесть из 24 число 8:
и полученную разность разделить на 2:
Если и уменьшаемое и вычитаемое в записи разности делятся на число, на которое надо разделить разность, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления разности на число.
2) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе.
Например, чтобы найти значение выражения:
можно отдельно уменьшаемое и вычитаемое разделить на число 7:
и найти разность полученных частных:
Общие формулы свойств деления
Все свойства деления можно представить в виде формул:
Математика. 3 класс
Конспект урока
Математика, 3 класс
Урок № 41. Деление суммы на число. Закрепление
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
2.Как проверить правильность деления?
3.Какой способ вычисления наиболее удобный?
Деление – это обратное действие умножению
Сумма – это результат действия сложения, а также выражение действия сложения
Обязательная литература и дополнительная литература:
общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – С.13.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мама купила двадцать шесть конфет. Из них двадцать леденцов и шесть карамелек. Как ей разделить поровну между двумя детьми так, чтобы конфет каждого вида им досталось поровну?
Мама разделит двадцать леденцов на двоих и каждый получит по десять. И шесть карамелек разделит на двоих, каждый получит по три. Десять и три равно тринадцати. Каждый получит по тринадцать конфет.
Двадцать шесть можно представить как сумму двадцать плюс шесть.
Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
(20 + 6) : 2 = 20 : 2 + 6 : 2 = 13
Представлять двузначные числа в виде суммы слагаемых можно по-разному. Представляя в виде суммы число семьдесят пять, мы видим, что слагаемых может быть два, три и более.
75 = 15 + 15 + 15 + 15 + 15
Если нам нужно число семьдесят пять разделить на пять, нужно число представить в виде суммы таких слагаемых, чтобы каждое из слагаемых удобнее было разделить на пять.
Этими слагаемыми будут пятьдесят и двадцать пять.
Пятьдесят разделить на пять будет десять, двадцать пять разделить на пять будет пять. Десять плюс пять равно пятнадцати.
75 : 5 = (50 + 25) : 5 = 50 :5 + 25 : 5 = 10 + 5 = 15
Разделить сумму на число можно двумя способами.
При решении задач можно выбрать наиболее удобный.
№1.Представьте число 45 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 3.
45 : 3 = (30 + 15) : 3 = 15
Пропущенные слова: слагаемое; сложить.
№3.Вставьте пропущенные числа.
75 : 3 = ( ___ + ____) : 3 = ____ : 3 + ____: 3 = ___;
76 : 4 = ( __ + ____) : 4 = ____ : 4 + ____ : 4 = ___;
75 : 3 = ( 60 + 15) : 3 = 60 : 3 + 15 : 3 = 25 ;
76 : 4 = ( 40 + 36) : 4 = 40 : 4 + 36 : 4 = 19;
№4.Выберите правильное решение задачи:
«В ящики, каждый из которых вмещает по 6 кг фруктов, разложили 36 кг яблок и 24 кг груш. Сколько всего ящиков потребовалось?»
1) (36 + 24) : 6 = 10 ящиков;
2) 36 : 6 + 24 = 30 ящиков;
3) 36 : 6 – 24 : 6 = 2 ящика;
Правильное решение: 1) (36 + 24) : 6 = 10 ящиков
№5. Решите примеры и расшифруйте слово, что это?
Свойства деления натуральных чисел
В рамках этой статьи мы изучим общие представления, связанные с делением натуральных чисел. Их принято называть свойствами процесса деления. Мы разберем основные из них, поясним их значение и подкрепим свои рассуждения примерами.
Деление двух равных натуральных чисел
Чтобы понять, как разделить одно натуральное число на другое, равное ему, нужно вернуться к пониманию смысла самого процесса деления. От того, какой смысл мы придаем делителю, зависит конечный результат. Разберем два возможных варианта.
Итак, мы имеем a предметов ( a – произвольно взятое натуральное число). Распределим предметы по группам поровну, при этом число групп должно быть равно a. Очевидно, что в каждой группе при этом будет всего один предмет.
Переформулируем немного иначе: как распределить a предметов в группы по a предметов в каждой? Сколько групп получится в итоге? Конечно, всего одна.
Подведем итоги и выведем первое свойство деления натуральных чисел одинаковой величины:
Деление натурального числа на равное ему дает в итоге единицу. Иначе говоря, a : a = 1 ( a – любое натуральное число).
Разберем для наглядности два примера:
Как видно, от конкретных цифр тут ничего не зависит, результат будет один и тот же при условии равенства делимого и делителя.
Деление натурального числа на единицу
Таким образом, мы подходим к формулированию свойства деления натуральных чисел на 1 :
Разберем 2 примера:
Отсутствие переместительного свойства для деления натуральных чисел
В случае с умножением мы свободно можем поменять множители местами и получить тот же результат, однако на деление это правило не распространяется. Менять местами делимое и делитель можно только в случае, если они являются равными натуральными числами (это свойство мы уже рассматривали в первом пункте). То есть можно сказать, что переместительное свойство распространяется только на случай, если в делении участвуют равные натуральные числа.
В остальных случаях менять местами делимое с делителем нельзя, поскольку это приведет к искажению результата. Объясним подробнее, почему.
В общем случае переместительное свойство на деление натуральных чисел не распространяется, т.е. a : b ≠ b : a ( a и b здесь – произвольно взятые натуральные числа, не равные друг другу).
Деление суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число
Чтобы лучше объяснить это правило, возьмем наглядные примеры.
У нас есть группа детей, между которыми надо поровну разделить мандарины. Фрукты сложены в два пакета. Возьмем условие, что количество мандаринов таково, что можно поделить их на всех детей без остатка. Можно пересыпать мандарины в один общий пакет, а потом поделить и раздать. А можно поделить сначала фрукты из одного пакета, а потом из другого. Очевидно, что и в том, и в другом случае никто не будет в обиде и все будет разделено поровну. Следовательно, мы можем сказать:
У нас получилось равенство, в правой части которого первым выполняется деление, а вторым – сложение (вспомним, как правильно выполнять арифметические действия по порядку).
Докажем справедливость получившегося равенства на примере.
Деление разности 2-х натуральных чисел на другое натуральное число
Подобным образом можно вывести правило для разности натуральных чисел, которую мы будем делить на другое натуральное число:
Результат деления разности двух натуральных чисел на третье равен тому, что мы получим, отняв от частного уменьшаемого и третьего числа частное вычитаемого и третьего числа.
Докажем справедливость этого правила на примере.
Деление произведения двух натуральных чисел на другое натуральное число
Вспомним о том, какая связь существует между делением и умножением, тогда свойство деления произведения на натуральное число, равное одному из множителей, будет нам очевидно. Выведем правило:
Если разделить произведение двух натуральных чисел на третье, равное одному из множителей, в итоге мы получим число, равное другому множителю.
В буквенном виде это можно записать как ( a · b ) : a = b или ( a · b ) : b = a (значения a и b представляют собой натуральные числа).
А как быть в случае, если делитель не равен ни одному из множителей, которые образуют делимое? Тогда здесь действует другое правило:
Результат деления произведения двух натуральных чисел на третье натуральное число равен тому, что получится, если разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель.
Мы получили весьма неочевидное на первый взгляд утверждение. Однако если учесть, что умножение натуральных чисел, по сути, сводится к сложению равных по значению слагаемых (см. материал об умножении натуральных чисел), то можно вывести этой свойство из другого, о котором мы говорили чуть выше.
Запишем это правило в буквенном виде (значения всех переменных – натуральные числа).
Деление натурального числа на произведение 2-х других натуральных чисел
Результат деления натурального числа на произведение равен числу, которое мы получим, разделив это число на один из множителей и получившееся частное разделить на другой множитель.
Деление нуля на натуральное число
Что такое нуль? Ранее мы условились, что он означает отсутствие чего-либо. Нуль мы не относим к натуральным числам. Получается, что, если мы разделим нуль на натуральное число, это будет равнозначно попытке разделить пустоту на части. Понятно, что в итоге мы все равно получим «ничто», на сколько бы частей мы его не делили. Выводим отсюда правило:
Деление натурального числа на нуль
Это действие выполнить нельзя. Давайте выясним, почему именно.
Как поделить сумму на число
28. Деление суммы на число
Организационный этап
Прозвенел уже звонок.
Ты готов начать урок?
Сегодня на уроке мы узнаем, как разделить сумму на число.
Отгадайте, кто у нас в гостях:
У отца сыночек странный:
Необычный, деревянный,
На земле и под водой
Ищет ключик золотой,
Всюду нос суёт свой длинный.
Кто же это? Буратино
Да, у нас на уроке сказочный гость Буратино, вы же знаете, этот озорной мальчишка всё хочет знать и уметь, а помогают ему в этом его друзья: Мальвина, Артемон и Пьеро. Они и нам помогут разобраться с сегодняшней темой.
Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний
Устный счёт
Задание 1
Задание от Артемона.
Найдите пару, не делая вычислений.
Вспомним, как умножить сумму на число?
1 способ: вычислить сумму и умножить ее на число.
2 способ: умножить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Задание 2
Представьте в виде суммы разрядных слагаемых числа: 23, 45, 67, 38.
Задание 3
Задание от Буратино:
Ребята, мне Мальвина дала задание, найти суммы чисел 12 и 28, 36 и 24, разделённые на 2.
Ой, а я что-то забыл, порядок выполнения действий? Напомните.
Первыми выполняются действия в скобках.
Затем по порядку выполняются умножение и деление.
После, по порядку выполняются сложение и вычитание.
Сумму числа 12 и 28 разделить на два.
Сначала выполняем действия в скобках и находим сумму: 12+28=40
Затем сумму делим на 2: 40:2=20
Сумму чисел 36 и 24 разделить на два.
Сначала выполняем действия в скобках и находим сумму: 36+24=60
Затем сумму делим на 2: 60:2=30
Этап усвоения новых знаний
Рассмотрим решение задачи.
Мальвина принесла трём своим друзьям яблоки: 8 красных и 4 зелёных. Она предлагает, чтобы Буратино разделил яблоки поровну, не забыв и про неё.
Математически это можно записать так:
Буратино решил, что он сначала разделит 8 красных яблок, а потом 4 зелёных.
В математической записи получается: (8+4):4=8:4+4:4=2+1=3
А Мальвина сказала, что сможет поделить яблоки по-другому. Друзья, конечно, удивились, но решили выслушать Мальвину.
Она сначала посчитает все яблоки, то есть найдёт их сумму, потом поделит их все на 4.
Математически это можно записать так: (8+4):4=12:4=3
У каждого тоже получилось по 3 яблока. 
Вывод: чтобы разделить сумму на число, можно действовать 2 способами:
1-й способ: надо каждое слагаемое разделить на это число и полученные результаты сложить. (Так поступил Буратино)
2-й способ: сначала находим значение суммы, а затем выполняем деление. (Так поступила Мальвина).
Этап закрепления новых знаний
Задание 1
Решите с объяснением.
Запишите сумму чисел 12 и 48 и разделите её на 6.
Решим числовое выражение первым способом, для этого поочерёдно разделим слагаемые на 6, а результаты сложим.
Проверьте себя и оцените свои успехи.
(12 + 48) : 6 = 12 : 6 + 48 : 6 = 2 + 8 = 10
Теперь решим это же числовое выражение вторым способом: находим сумму чисел 12 и 48 и делим полученный результат на 6.
У нас получился тот же ответ, и мы ещё раз убедились в правильности нашего вывода.
(12 + 48) : 6 = 60 : 6 = 10
Задание 2
Буратино решил числовое выражение на деление суммы на число. Мальвина проверила их и сказала, что решено не правильно. Помогите Буратино исправить ошибку. Решите двумя способами:
(21 + 9) : 3 = 21 : 3 + 9 = 16
Проверьте себя и оцените свои успехи.
1 способ. Каждое слагаемое разделим на число и сложим полученные результаты:
(21 + 9) : 3 = 21 : 3 + 9 : 3 = 7 + 3 = 10
2 способ. Найдем сумму чисел и разделим ее на число.
(21 + 9) : 3 = 30 : 3 = 10 
Какой способ в этом случае удобнее?
Быстрее сделать вычисления вторым способом.
Задание 3
Вычислите удобным способом:
Проверьте себя и оцените свои успехи.
(11+19):6=30:6=5 (удобнее 2 способ)
(30+12):3=30:3+12:3=10+4=14 (удобнее 1 способ)
Самостоятельная работа
В вазе было 12 конфет «Грильяж» и 24 конфеты «Ромашка». Разделите поровну конфеты между Мальвиной, Буратино, Пьеро, Артемоном.
Проверьте себя и оцените свои успехи.
Ответ: по 9 конфет достанется каждому. 
Этап подведения итогов
Запомните, разделить сумму на число можно 2 способами:
1-й способ: надо каждое слагаемое разделить на это число и полученные результаты сложить. (9+9):3=9:3+9:3=3+3=6
2-й способ: сначала находим значение суммы, а затем выполняем деление.
(9+9):3=18:3=6
Рефлексия
Ребята, Пьеро понял тему урока, и он подарил Мальвине красный цветок. Если вам также, как и Пьеро всё понятно, нарисуйте у себя в тетради красный цветок.
Артемон скорее понял, чем нет, если у вас такое же ощущение от урока, то, как и Артемон, подарите Мальвине жёлтый цветок, так и вы нарисуйте у себя в тетради.
Ну а Буратино хотел бы ещё раз услышать объяснение Мальвины, потому пришёл к ней с целым букетом. Ребята, если вам необходимо повторение нового материала, то нарисуйте три любых цветочка.
Удачи вам! Спасибо за работу!
Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!
Подготовиться к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны
Урок математики «Деление суммы на число»
Содержимое разработки
Шеренец Оксана Михайловна
Авторы учебника: Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова, Т.Б.Бука.
Технологическая карта урока.
Деление суммы на число
Открытие новых знаний и способов действий, решение учебной задачи
Овладение способами деления суммы на число.
Повторить табличные случаи умножения и деления.
Использовать различные способы нахождения выражений.
Вывести алгоритм деления суммы на число.
Сформировать умение выполнять деление суммы на число, выбирая рациональный способ вычисления.
Отработать навыки деления суммы на число.
Названия компонентов действий умножения и деления; алгоритм, задача.
Познавательные (анализ, сравнение и классификация, выбор эффективных способов решения);
Коммуникативные (работа в парах, умение выражать свои мысли, владение монологической и диалогической формами речи);
Личностные (смыслообразование, учебно-познавательный интерес к новому учебному материалу, уважительное отношение к мнению других);
Регулятивные (целеполагание, постановка учебной задачи, контроль и оценка результатов).
Организация образовательного пространства
Средства обучения: компьютер, мультимедийный проектор; учебник и рабочая тетрадь «Математика», 3 класс, часть 2, под редакцией Г. В. Дорофеева, Т. Н. Мираковой, Т. Б. Бука.
Медиапродукты: тест на сайте Дневник.ру в приложении ЯКласс, образовательная платформа: Учи.ру
Фронтальная, парная, самостоятельная.
-Ребята прочитайте внимательно высказывание:
«Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым»
-Как вы понимаете смысл этого высказывания?
-А вы боитесь трудностей?
-Готовы трудиться? Покорять все крепости математики?
Воспринимают речь учителя.
Рассуждают, мотивируют учебную деятельность. Выражают свое отношение к математике
Формирование коммуникативной грамотности.
Актуализация опорных знаний.
1)Запишите результаты выражений:
4 ∙ 6, 36: 9, 6 ∙ 3, 30 : 10, 48 : 8
— На какие группы можно разделить результаты?
— Составьте выражения на умножение и деление с полученными результатами.
— Назовите компоненты умножения и деления.
Записывают результаты, классифицируют их на группы.
Называют компоненты умножения и деления.
Повторение табличных случаев умножения и деления.
Постановка учебной задачи.
Продолжим работу в группах.
— Ребятам выдаются карточки 3-х вариантов.
Карточка № 1 (Лёгкий уровень)
-Найди ошибки, исправь и реши пример.
(3 + 9) ∙ 2 = 3 ∙ 9 + 9 ∙ 2
Карточка № 2 (Средний уровень)
Соедини пары выражений.
(21 + 34) ∙ 2 30 ∙ 4 + 2 ∙ 4
40 ∙ 2 + 8 ∙ 2 21 ∙ 2 + 34 ∙ 2
Карточка № 3 (Повышенный уровень)
Решите примеры с объяснением.
— Какое математическое свойство использовали, когда выполняли задания на карточках?
— Проверка по эталону.
— А сейчас вам нужно найти значения следующих выражений:
(Второй пример должен вызвать затруднение)
— Какое выражение вызвало затруднение?
— А мы умеем быстро и правильно делить сумму на число?
— Кто догадался какова тема урока? (Деление суммы на число)
— Итак, сегодня мы будем учиться делить
сумму чисел на однозначное число.
— Какую цель мы поставим?
— Что мы для этого будем делать?
Исправляют ошибки в выражениях; соотносят пары выражений, применяя правило умножения суммы на число; решают примеры с объяснением, используя ранее полученные знания.
Проверяют по эталону
Находят значения выражений. Выделяют проблему.
Определяют тему урока.
Формулируют цель и задачи урока
Формирование коммуникативной грамотности
Применение распределительного свойства умножения.
Открытие нового знания
— Ребята, давайте рассмотрим способы деления суммы на число. Для этого выполним практическую работу. Выложите 4 палочки белого цвета и 6 палочек красного цвета.
— Сколько палочек вы выложили? (4+6=10)
— Как разложить эти палочки на 2 части?
— Запишите решение задачи выражением.
Проверка. Первая пара выходит к доске и рассказывает свой способ решения.
(4+6):2=5 палочек в каждом ряду
к 4+6 получили 10 и разделили на 2.
— Как еще можно разделить эти палочки на 2 части?
— Какой вывод позволяют сделать найденные пути решения задачи? (Сумму на число можно разделить двумя способами)
— Какими двумя способами можно разделить сумму на число? Давайте соберем алгоритм деления суммы на число.
1. Разделить первое слагаемое на число.
2. Разделить полученный результат на число.
2. Разделить второе слагаемое на число.
3. Полученные результаты сложить
— Сравним свои выводы с выводом в учебнике на с.27
Иллюстрируют способ деления. Находят значения выражений, используя различные способы решения.
Собирают алгоритм из разбросанных слов (у доски и на парте)
Читают правило в учебнике, сравнивают выводы.
Формирование коммуникативной грамотности.
Выведение алгоритма деления суммы на число.
— Ребята, наверное, вы устали. Давайте отдохнем выполним физкульминутку.