Как подсчитать параметрическое число контура

Элементы дифференциальной геометрии. Естественная параметризация

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Наглядный геометрический объест — плоская кривая — приточных определениях приводит к нескольким различным, хотя и близким понятиям. Плоскую кривую можно понимать и как некоторое множество точек на плоскости и как множество точек плоскости вместе с очередностью их прохождения — ориентацией. Приведем два наиболее распространенных подхода к определению того, что представля ет собой плоская кривая. Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху.

Определение 1 (неявный способ задания):

Другим распространенным способом задания плоской кривой является параметрический способ задания. Определение 2. Параметризованной плоской кривой называется множество 7 точек М плоскости, координаты г и у которых определяются соотношениями непрерывные на отрезке [а, 6] функции. Пример 2. — параметрические уравнения окружности радиуса а с центром в точке 0(0,0). При изменении параметра t от 0 до 2т соответствующая точка обегает окружность против часовой стрелки.

Данное определение допускает естественную физическую интерпретацию. Если воспринимать параметр t как время, то параметрически заданную кривую можно рассматривать как след движущейся точки М(х, у), координаты которой изменяются со временем по правилу (2). При этом вовсе не исключается случай, когда при своем движении переменная точка М в некоторый момент t* может вновь оказаться там, где ранее (в момент i, она уже находилась: (рис.2). Геометрически этоодна и та же точка.

Однако вследствие того, что в рассматриваемом процессе мы попадаем в нее дважды в разные моменты времени, это две разные точки кривой, задаваемой параметрическими уравнениями (2). Замечание. Строго говоря, определении I и 2 вводят в рассмотрение разные объекты. Поэтому для того, чтобы не впасть в заблуждение, нужно ясно представлять, в каком именно смысле рассматривается задаваемая кривая. Пусть кривая 7 задана параметрическими уравнениями называется начальной тонкой этой кривой, а точка ) — конечной тонкой кривой 7.

Кривая 7 называется замкнутой, если ее начальная и конечная точки совпадают (рис. 4).

— Рис. 4 Одно и то же м ножество точекн а плоскости можно задавать при помощи различных параметрических уравнений. Пример 3. Уравнения задают окружность радиуса а, обходимую в положительном направлении. Легко видеть, что, положив в формулах (3) 2хг3, мы приходим к соотношениям (4). Определение. Функция подчиненная условиям: а) Н<т) непрерывна на отрезке [а, /3]; h(r) строго возрастает на отрезке [се, >3]; в) область значения функции h(r) — отрезок [а, Ь], называется непрерывной заменой параметра кривой 7 (рис. 5). ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Плоские кривые.

Способы задания

Отметим, что производные этих функций при tодновременно обращаются а нуль. ТЪчка Мо гладкой кривой у, отвечающая значению t0 параметра, М0 в которой называется особой точкой этой кривой (относительно заданной параметризации). Точка Мо(*о) гладкой кривой 7, в которой называется обыкновенной, ншрегулярной, точкой этой кривой. Пример в. Все точки окружности (3) являются регулярными.

Пример 7. У кривой, задаваемой уравнениями (астроида) четыре особых точки (при t ж 0, | Последнее неравенство означает, что скорость кривой 7 относительно заданной параметризации не обращается в нуль ни в одной точке кривой. При изменении параметра t текущая точка M(t) перемещается порегулярной кривой 7, нигде не оста- навливаясь и не поворачивая вспять, поскольку скорость регулярной кривой ни при каких значениях параметра не обращается в нуль.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть 7 — регулярная кривая, заданная параметрически. Обозначим через Мо точку кривой 7, отвечающую значению £о параметра, а через М — точку кривой 7, отвечающую значению t параметра из некоторой окрестности точки to (рис. 8, 9). Прямая М0Т называется касательной регулярной кривой 7 вточке Мо, если при (или, что то же, ) наименьший Д0 из углов между этой прямой и переменной прямой MqM стремится к нулю (рис. 9). Регулярная кривая имеет касательную в каждой своей точке.

Вектор скорости кривой в точке Мо коллинеарен ее ка- сательной в этой точке. Прямая, проходящая через точку Мо перпендикулярно касательной кривой 7 в этой точке, называется нормалью кривой вточке Мо. Замена параметра называется регулярной у если Л'(т во всех точках отрезка [а, /3]. В случае неявного задания (1) кривая 7 будет регулярной, если в каждой ее точке М(х, у) выполняется неравенство Точка Мо(жо> Уо) неявно заданной кривой 7 называется особой, если в этой точке Пример 8.

(леммисюга Бернулт), имеет одну особую точку 0(0,0) — узел (рис.10). Различают несколько типов особых точек. Пусть М0(хо, уо) — особая точка кривой 7, Введем следующие обозначения возврата первого рода. Пример 12. (рис. 14). — точка возврата второго рода. Гладкая (тем более регулярная) кривая спрямляема. Длина кривой 7, заданной уравнениями (2), вычисляется по формуле Значение функции равно длине переменной дуги кривой7, заключенной между точками (рис. 15).

Функция на отрезке [а, 6) строго возрастает, Пример 11. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Плоские кривые. Способы задания. Естественная параметризация и является гладкой на отрезке [а, 6]. Кроме того, область значений функции s(t) совпадает с отрезком [0, 5]. Тем самым, длину дуги можно взять за новый, естественный (натуральный) параметр кривой.

Параметризация кривой, где в качестве параметра взята длина дуги з, называется естественной параметризацией. Если естественная параметризация кривой, то Поэтому естественно параметризованную кривую часто называют кривой с единичной скоростью. Пример 13. Параметризация окружности радиусе а является естественной:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Параметризация геометрических моделей (Parameterization of geometric models)

Теория параметризации позволяет формализовать процесс определения числа параметров, необходимых для задания геометрического объекта. Эта теория также позволяет решить обратную задачу – определить размерность множества решений поставленной задачи еще перед разработкой алгоритма ее решения. Кроме этого, с помощью теории параметризации можно исследовать возможности определения новых геометрических объектов.

Параметры – независимые числовые величины, которые позволяют выделить геометрический объект из N-параметрического множества объектов в заданной системе параметризации.
Система параметризации – совокупность заданных геометрических элементов (примитивов) и геометрических условий, которые ставят в соответствие каждому объекту набор параметров.
N-параметрическое множество – множество объектов, для выделения одного из которого необходимо связать N параметров.
Параметрическое число объекта – количество параметров (N), которое выделяет единственный объект из N-параметрического множества объектов.

Основы метода параметризации объектов

Из точек можно образовать линию, непрерывно перемещая точку в пространстве. Аналогично можно образовать поверхность, перемещая линию в пространстве. Для определения геометрических объектов (Г.О.) нет необходимости указывать положение всех принадлежащих ему точек. Достаточно лишь указать определитель – совокупность элементов (геометрическая часть), из которых можно образовать Г.О., и условия их перемещения (алгоритм).

Геометрическая часть определителя может быть выражена через другой определитель (геометрическая часть + алгоритм). В конечном итоге геометрическая часть выражается точками, а точки – параметрами, определяющими их взаимное положение.

Размерность пространства. Определение параметрического числа объекта

Параметры определяются суммированием параметров точек, через которые в конечном итоге выражается геометрическая часть определителя. При этом следует иметь в виду, что количество параметров зависит от размерности пространства. Различают:

Определителем отрезка являются 2 фиксированные точки. Следовательно, в пространстве R3 отрезок определяется 6-ю параметрами (N=3+3), в плоскости 4-я (N=2+2). Пирамида с треугольным основанием определяется 4-я фиксированными точками в пространстве и 12 параметрами (N=4*3).
Не все геометрические объекты было бы правильно определять через фиксированные точки. Так, например, если определить прямую по 2-м фиксированным точкам, то окажется, что мы имеем на плоскости 4-х параметрическое множество прямых (на самом деле 2-х параметрическое). Введём новое понятие текущей точки линии (поверхности).
Текущая точка линии – это точка, которая может перемещаться по линии. Т.е., в этом случае один параметр точки не зафиксирован. Поэтому текущая точка линии в пространстве R2 определяется лишь одним параметром, а в пространстве R3 лишь двумя параметрами.
Текущая точка поверхности – это точка, которая может перемещаться по поверхности. Т.е., в этом случае два параметра точки не зафиксированы. Поэтому текущая точка поверхности определяется лишь одним параметром.

Зная параметрические числа прямых и плоскостей, можно их использовать для параметризации более сложных объектов. Например, треугольник можно определить как фигуру, ограниченную прямыми, а пирамиду – как фигуру, ограниченную плоскостями.

Каждая линия на плоскости определяется 2-я параметрами, соответственно, треугольник определяется 6 параметрами.
Аналогично рассуждая, получим, число параметров для пирамиды с четырехугольным основанием будет 15 (по три для каждой из плоскостей). Однако, их не 15, а 14. Где прокол? В этом случае необходимо учитывать, что три боковые плоскости, пересекаясь, определяют одну точку (вершину пирамиды) и, следовательно, для определения 4-й боковой плоскости необходимо добавить еще только 2 текущих точки поверхности (2 параметра) вместо 3-х.
Определитель фигуры может быть различным, но корректная параметризация объекта при элементарных знаниях геометрии обеспечит один и тот же результат. Например, определителем окружности может быть одна фиксированная точка (центр окружности) и одна текущая точка, а также определителем окружности могут быть 3 текущие точки. В обоих случаях получаем один и тот же результат – 3 параметра.

На рисунках ниже видно, что геометрические условия заменяют параметры. Например, прямая, параллельная заданной определяется не 2-я, а 1-м параметром (расстоянием к заданной прямой). Одним параметром вместо 2-х определяется и прямая, касательная к заданной линии. Число параметров, необходимых для определения треугольника, уменьшается при наличии симметрии.

Следовательно, при расчете параметрического числа геометрического объекта необходимо не только просуммировать параметрические числа геометрических элементов определителя, но и вычесть параметрические числа геометрических условий.

N = N1+ N2+…+ Nk — (Ny1+ Ny2+…+ Nyp)

Но для этого необходимо уметь параметризовать геометрические условия.

Параметризация геометрических условий

Размерность геометрического условия Ny определяется разницей параметрического числа объекта, несвязанного условием N1, и параметрического числа объекта, связанного условием N2.

Перпендикулярность прямой к плоскости
Прямая общего положения 4-х параметрическая. Прямая, перпендикулярная к плоскости, определяется точкой в плоскости, следовательно, 2-х параметрическая.

Точно такой же результат можно получить, если в качестве исследуемого объекта выбрать не прямую, а плоскость. Плоскость общего положения 3-х параметрическая. Плоскость, перпендикулярная к прямой, определяется точкой на прямой, следовательно однопараметрическая.

Перпендикулярность 2-х плоскостей
Плоскость общего положения 3-х параметрическая. Плоскость, перпендикулярная к заданной плоскости, определяется прямой в плоскости, следовательно 2-х параметрическая.

Перпендикулярность 2-х прямых (в плоскости)
Прямая общего положения 2-х параметрическая. Прямая, перпендикулярная к прямой, определяется точкой на прямой, следовательно, однопараметрическая.

Параллельность 2-х плоскостей
Плоскость общего положения 3-х параметрическая. Плоскость, параллельная к заданной, определяется текущей точкой на плоскости, следовательно, однопараметрическая.

Параллельность прямой и плоскости
Прямая общего положения 4-х параметрическая. Прямые, параллельные к заданной плоскости, находятся в параллельной к ней плоскости. Положение последней плоскости определяется текущей точкой в этой плоскости, т.е. одним параметром. В плоскости можно провести двухпараметрическое множество прямых. Следовательно, прямая, прямая, параллельная к плоскости, определяется 3 –я параметрами.

Параллельность 2-х прямых (в плоскости)
Прямая общего положения 2-х параметрическая. Прямая, ей параллельная, определяется текущей точкой на прямой, следовательно однопараметрическая.

Параллельность 2-х прямых (в пространстве)
Прямая общего положения 4-х параметрическая. Прямые, ей параллельные, перпендикулярны к одной и той же плоскости. Прямая, перпендикулярная к плоскости 2-х параметрическая, следовательно и прямая, параллельная к заданной прямой, тоже двухпараметрическая.

Касание 2-х линий (на плоскости)
Рассмотрим касание прямой и кривой. Прямая общего положения 2-х параметрическая. Через точку на гладкой кривой можно провести единственную касательную. Точка на линии определяется одним пара-метром, следовательно, и касательных к кривой можно провести однопараметрическое множество.

Касание 2-х линий (в пространстве)
Рассуждая по аналогии с предыдущим случаем, получим:

Касание 2-х поверхностей
Рассмотрим касание плоскости и поверхности. Плоскость общего положения 3-х параметрическая. Через точку на гладкой поверхности можно провести единственную касательную плоскость. Точка на поверхности определяется двумя параметрами, следовательно, и касательных поверхностей можно провести двухпараметрическое множество.

Касание линии к поверхности
Рассмотрим касание прямой к поверхности. Прямая общего положения 4-х параметрическая. Через точку на гладкой поверхности можно провести единственную касательную плоскость (определяется 2-я параметрами), а в ней, через ту же точку можно провести однопараметрическое множество прямых. Следовательно, прямых, касательных к поверхности можно провести 3-х параметрическое множество.

Симметрия
При условии явно или неявно заданных центра, оси или плоскости симметрии учитываются параметры только одной из двух симметричных точек. Следовательно, условие симметрии заменяет количество параметров, равное параметрическому числу лишь одной из симметричных частей.

Выделение параметров формы и положения

Практически все геометрические объекты характеризуются параметрами формы и положения. Исключение составляют точка, прямая и плоскость. Эти элементы различаются в пространстве только лишь положением. Параметры положения Nп и параметры формы Nф в сумме определяют общее параметрическое число N:

Число параметров положения зависит от размерности пространства. В общем случае Nп = 3 для объектов на плоскости и Nф = 6 для объектов в пространстве. Этот факт несложно доказать, используя приемы параметризации.

Для доказательства достаточно определить количество параметров, которых необходимо для определения положения одной декартовой системы координат относительно другой.

Определение параметров положения на плоскости
Система координат определяется:

Определение параметров положения в пространстве

Система координат определяется:

Всего 6 параметров.

Пример определения параметров формы и положения объектов

Эллипс – множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых к 2-м точкам (фокусам) есть величина постоянная (больше, чем расстояние между фокусами).

Отделяем в определителе эллипса геометрическую часть от алгоритмической. Геометрическая часть состоит из 2-х фиксированных точек на плоскости и одной текущей точки на линии.

Выражаем элементы определителя через параметры

Определяем количество параметров формы и положения.

Nп = 3
Nф=N — Nп = 5 – 3 = 2

Определение множества решений геометрических задач

В теории алгоритмов одна из важных проблем – доказать отсутствие алгоритма для решения той или иной задачи. Доказать наличие алгоритма можно путем фактического описания процесса. Доказать же отсутствие алгоритма сложнее. То, что Вы его не сумели описать, отнюдь не означает, что алгоритм не существует. Приемы параметризации позволяют в некоторой степени решить эту проблему в отношении моделирования геометрических объектов.

Задача_1.
Провести прямую, которая пересекает 3 (4 или 5) заданных прямых.

Для того, чтобы оценить, какое множество решений имеет задача, необходимо определить:

Доказательство. В пространстве имеем 4-х параметрическое множество прямых. Если же прямая, пересекает какую-либо линию, то имеем 3-х параметрическое множество прямых, поскольку одна из 2-х точек определяется в 1-о мерном пространстве – на заданной линии. Размерность геометрического условия пересечения линий Ny = 4 — 3 = 1. Следовательно, чтобы получить 0-мерное множество прямых достаточно 4 условия пересечения прямой с линией.

Задача_2.
Провести прямую, которая пересекает 2 заданные прямые и параллельна к 2-м заданным плоскостям (докажите самостоятельно).

Задача_4.
Доказать теорему Польке (основная теорема аксонометрии), используя метод параметризации. Теорема впервые была сформулирована немецким геометром К. Польке (К. Pohlke) в 1860 (без доказательства). П. т. утверждает, что три отрезка произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами, представляют собой параллельную проекцию трёх равных и взаимно перпендикулярных отрезков, выходящих из одной точки в пространстве. На основании П. т. три произвольных отрезка, выходящих из одной точки на плоскости проекций, можно принять за изображение координатного трёхосника с одинаковыми масштабными отрезками на его осях.

Доказательство. Из 4-х заданных на плоскости точек выходят прямые линии (проецирующие лучи). Направление этих лучей определяется двумя параметрами (текущей точкой линии). Положение точек на заданных прямых определяется 4-я параметрами (4*1). Из 6 параметров (степеней свободы) три параметра связываются условиями равенства каждого из отрезков единице. Два параметра связывает условие перпендикулярности прямой плоскости (например, оси Z к плоскости XY). Один параметр связывает условие перпендикулярности 2-х прямых в плоскости (например, оси X и Y в плоскости XY).

Определение линий и поверхностей изменением размерности множеств

Можно уменьшать или увеличивать размерность множества за счёт высвобождения параметров или их связывания теми или иными геометрическими условиями. Так, например, от фиксированной точки можно последовательно перейти к текущим точкам линии и поверхности. И, наоборот, от поверхности можно перейти к линии и точке.
Поверхность можно определить как однопараметрическое множество линий, поскольку высвобождением одного параметра каждой из точек линии можно получить 2-х параметрическое множество точек. Например, если перемещать окружность вдоль оси, получим цилиндрическую поверхность.

С другой стороны, к определению поверхности можно перейти, накладывая определённые условия на N-параметрическое множество линий. Так, например, к определению поверхности можно прийти, накладывая на 4–х параметрическое множество прямых условие пересечения 3-х заданных прямых (каждое условие связывает один параметр).

Источник

Параметризация плоского контура

Не считайте дальнейшее обязательным требова­нием. Это не более чем эвристические указания, но практика показала, что они бывают полезны. Они могут вам помочь, если вы растеряетесь, если вы не будете знать, о чем дальше спросить, о чем дальше рассказать. Это очень приблизительная схе­ма, «палочка-выручалочка» — как можно устроить этот «образ на холсте». Хотя вполне возможно, что рассказ и его содержание «устроятся» совсем иначе.

Я разделяю рассказ о событии (как и последую­щие темы) на четыре слоя.

Первый слой — само событие, его сюжетная канва.

Второй — контекст, т.е. те обстоятельства, которые нужно знать, чтобы вникнуть в индивидуальную окраску события.

Скажем, студентка рассказывает о том, что к ней вчера приезжала в гости мама. Мы можем, расспро­сив, узнать, что студентка — не москвичка и живет в общежитии; что мама живет не очень далеко и имеет возможность приехать в гости на один день; это — минимум событийного контекста. Затем имеет смысл выяснить ее отношения с мамой. Одно дело, когда приезжает «как бы в гости» мама, кото­рая дочку непрестанно контролирует, которой доч­ка боится; другое дело, — мама, без которой девоч­ка скучает, с которой она привыкла жить вместе, а теперь они врозь; совсем иная окраска события, можно даже сказать — другое событие.

Здесь есть очевидная зависимость: чем больше у людей общего контекста, тем меньше нужно описа­ний. Когда я общаюсь со своими близкими, с кото­рыми я вместе живу, мне достаточно двух-трех на­меков, чтобы событие стало понятным, потому что контекст известен. И чем меньше общего контекста, чем меньше люди знакомы, тем больше нужно пояснений, чтобы было понятно, в чем же действи­тельно состоит событие.

Это тоже вопрос искусства и мастерства: нужно не упустить чего-нибудь значимого, такого, что ме­няет в корне всю суть дела, и вместе с тем не увяз­нуть, не зависнуть, не утонуть в деталях, которые не очень важны. Времени, которое дается (минут 30-40), достаточно, чтобы узнать о жизни собесед­ника довольно много, но недостаточно для того, что­бы погрузиться в эту жизнь целиком. Тут нужно выбирать значимый контекст и смотреть, что имеет отношение к делу.

Я могу вам рекомендовать эвристический метод, который уместен и полезен как здесь, так и во мно­гих подобных ситуациях. Я называю его«методом ромашки». Всякое отклонение в сторону контек­ста — это уход, отдаление от центра, от сути собы­тия. Как только вы почувствовали, что вы отклони­лись слишком далеко, вы задаете себе и собеседнику вопрос: какое это имеет отношение к самому собы­тию? Этот вопрос возвращает вас обратно, и так получается лепесток: отклонение и возвращение.

Затем снова происходит отклонение, снова задает­ся вопрос, какое это имеет отношение к делу, — следующий лепесток, и т.д. Этот способ позволяет постоянно возвращаться к сути дела.

Здесь необходимо предупреждение. Если вы бу­дете двигаться только по содержанию и не будете обращать внимания на то, что происходит в непос­редственном живом общении, здесь и теперь, — вы рискуете набрать материал для собственных про­екций.

Вы, скажем, услышали слово «свекровь», у вас есть свое отношение к собственной свекрови (и соответственно — к «свекрови вообще»), и вы это отношение проецируете на рассказ собеседни­цы. Набрав некоторое количество таких проекций, вы начинаете строить совершенно вьщуманную кар­тину, а не понимать то событие, про которое вам рассказали. Чем больше вы начинаете жить в сво­их проекциях, тем меньше вам хочется восприни­мать реальные «пометы» (интонации, мимику и пр.) собеседника; и наоборот, — чем меньше вы их вос­принимаете, тем больше вам приходится полагать­ся на свои проекции.

Поэтому здесь особенно важно «распараллелить-ся» и быть одновременно и в содержании того, о чем речь, и в контакте с собеседником, т.е. смот­реть, как и что происходит в общении.

Третий слой — это то, как событие живет в че­ловеке после того, как оно произошло, и, в частно­сти, сейчас, когда он о нем рассказывает. Это очень интересный аспект; он заставляет нас очень ясно и чисто практически, без всякой далекой и излишней философии, психически представить себе, как ин­тересно мы устроены в отношении к времени. Со­бытие произошло, допустим, три-четыре дня тому назад, или пятнадцать лет назад, но если это значимое, осмысленное, наполненное событие, если че­ловеку есть о чем рассказать, значит это событие до сих пор каким-то образом в нем живет. Во внеш­нем мире, в истории оно уже прошло, и его «там» больше нет, а в человеке, в его психике оно продол­жает жить, обрастает отношениями, оценками, чув­ствами.

Одними событиями мы гордимся, других стыдим­ся, каким-то радуемся, по поводу других — огорча­емся и т.д. Причем отношения и оценки эти могут меняться; в момент события человек может отно­ситься к нему одним образом, через полчаса — другим, через три дня — третьим, а через 15 лет — может быть и вовсе пятнадцатым.

Наконец, четвертый слой, как бы «замыкание» этого гештальта, некоторый итог. Есть две возможности задать вопрос про этот слой. Одна возмож­ность формально соответствует сути дела, но очень опасна по форме общения. Формально вопрос зву­чит так: «В чем для тебя смысл этого события?»

Но таким вопросом мы рискуем вызвать челове­ка на то, что в психотерапии называется «рациона­лизацией».

В ответ на такой вопрос многие могут начать выдумывать что-то, уместное с точки зре­ния общепринятых идеологических ценностей и пр.: что-нибудь «высокое» или «умное», что-то вроде «морали» в басне.

Я очень люблю пример из одной пародии на басни Крылова, который позволяет на всю жизнь запомнить, что такое рационализация. В этой па­родии после того, как рассказана история о вороне, лисице и сыре, предлагается «мораль»: «Когда хо­чешь сыр кушать, на сосну не садись».

Так что если вы «впрямую» пытаетесь узнать, в чем для рассказывающего смысл описанного собы­тия, вы рискуете «промахнуться». Но есть возмож­ность задать этот вопрос себе и своему собеседни­ку несколько иначе, и вместе над этим подумать; может быть и слов особых не понадобится, все ста­нет и так понятным.

Вопрос звучит так. После того, как достаточно интенсивно «вспахано поле», — рассказан сюжет, выяснен контекст, много поговорили о том, что пе­реживается по этому поводу, как это осознается, — задается вопрос: «Ну так и в чем же состояло со­бытие?»

Может быть, по ходу рассказа и обсуждения объем материала, его целостность, его организация и сама суть события сильно смещались. Начинает­ся рассказ как бы про одно, а потом он переориен­тируется, захватит какой-то другой материал, или отторгнет часть материала, как лишнее; и вот, чтобы подвести всему этому итог, понять, к чему же мы в конце концов пришли, проработав полчаса или чуть больше, можно задаться этим вопросом: «В чем же состояло событие?»

Как раз здесь уместно еще одно пояснение. Бы­вает, что после всего моего длинного объяснения, люди начинают интересоваться «критериями»: что является событием, а что на событие «не тянет». В таких случаях я отвечаю, что событие — это то, что вы сами для себя (или ваш собеседник для себя) считаете событием. Это вовсе не обязательно «эпо­хальное» событие, перелом в жизни.

Но возможен все же один существенный крите­рий, являющийся одновременно подсказкой в ответе на последний вопрос: событие — это то, что для человека имеет некоторый собственный внут­ренний смысл. Это не просто «факт», внешний или внутренний, это нечто, что имеет, с одной стороны, какое-то «фактическое» выражение, а с другой — несет для человека некий смысл.

Соответственно, событие данного человека с его смыслом может быть только у этого человека. Ка­ков человек — таковы его события, и наоборот, ка­ковы события — таков и человек.

Параметризация плоского контура

Рассмотрим параметризацию плоского контура. Любой плоский контур можно считать составным из нескольких фигур (примитивов) – точек, прямых и кривых линий. Примитивы могут находится по отношению друг к другу в отношениях касания и пересечения.

Примитивы, находящиеся в отношениях касания, являются сопрягаемым или сопрягающим элементом в паре.

При построении касательной окружности R₁ к прямой или к другой окружности R₂, окружность R₁— сопрягающий элемент,а прямая или окружность R₂– сопрягаемый элемент.

Параметрическое число контура равно сумме параметров его примитивов, каждый из которых можно определить по формуле:

åП=ПП+ПФ-ГУ,

где ПП – параметр положения примитива в выбранной системе координат;

ПФ — параметр формы примитива, не зависящий от положения примитива в выбранной системе координат;

Источник