Математика чему не учат в школе
Простые математические трюки, которым не научат в школе
«Ну и как мне пригодится в жизни математика?» – ворчат дети на уроках, а вырастая, забывают даже таблицу умножения и тянутся за калькулятором, выполняя самые простые подсчеты. А ведь зная следующие математические трюки, мы бы с большим интересом относились к школьной алгебре!
Быстрый счет в уме
Быстрый счет пригодится вам в повседневной жизни – допустим, когда вам нужно посчитать сумму в магазине. Одно пирожное стоит 30,95, а кекс – 23,76. Как узнать сумму чека? Просто округлите первую цену до 31, и прибавьте к стоимости кекса – это 54, 76. а теперь из этой суммы вычтите 5 копеек: 54,76-0,05=54,71.
Умножение 2-значных чисел
Освоить быстрое умножение двузначных чисел, например при строительных расчетах, поможет следующий математический фокус:
Возведение в квадрат
Возведение в квадрат – не самая легкая задача, но только если это не касается чисел, которые заканчиваются на 5! Просто умножьте 1-ю цифру искомого числа на цифру, которая больше на 1, а затем перенесите в окончание числа 25:
Например, 85^2: 8×9=72; 72 ставим перед 25 – получаем 7225.
85^2= 7 225.
Быстрое деление на 2
Математические трюки помогают и быстро делить на 5: умножьте исходное число на 2, после чего перенесите запятую на один знак влево:
Находить проценты чаевых, перемножать сложные числа при расчете валютного курса и совершать другие полезные математические операции помогут математические трюки из этого видео:
Обратите внимание и на следующие секреты математики, которые могут здорово облегчить вам жизнь и удивят ваших знакомых. Их просто нужно запомнить, в этом вам помогут занятия развивающие память.
Освоить математические трюки, овладеть навыками быстрого счета и выдавать ошеломительные результаты можно даже в юном возрасте, как и доказал всей стране этот удивительный мальчик-калькулятор Ильяс Тохтархан – смотрите сами:
Учитель месяца: «Наша школьная математика неоправданно сложная, а финская — неоправданно слабая»
Я училась в Москве, в физико-математической школе, тогда она называлась «Лицей при МИФИ», а преподавать математику детям и организовывать математические лагеря начала в качестве хобби. А потом, когда мы пару лет назад с семьей переехали в Великобританию, это стало моим делом. Что касается увлечения математикой, к сожалению, в нашей школе это происходит скорее вопреки, чем благодаря. Большинству детей это так и не удается. Ну а те, у кого есть математические способности, в принципе, приспособятся к любой системе.
Безусловно, в любой системе самое главное — это учитель и его способность увлечь ученика, раскрыть его способности. Но и математические способности у всех разные, как и склонность к языкам. Это я вам могу сказать как мама четверых детей, среди которых один — старший — вне всякого сомнения, одаренный математик. Он уже в 5 лет считал так, будто у него внутри спрятан калькулятор. С самого раннего детства ребенок был занят математическими исследованиями: видя дерево, пытался посчитать, сколько на нем листьев, беря стакан воды, задумывался, сколько в нем капель. Это, разумеется, и определенные человеческие способности, и определенные потребности. К сожалению, наша школьная программа построена так, что она отбивает интерес к математике: сильному ребенку скучно, ему слишком просто, слабому — слишком сложно, непонятно и тоже скучно.
математика в школе слишком академическая, не имеет отношения к жизни
Математическое образование везде очень разное: подходы, объемы, оценка знаний и, в конечном счете, результат, то есть багаж математических знаний, с которым человек выходит из школы, и то, как он может применить их в жизни, очень отличаются в школах разных странах.
Когда мы несколько лет назад переехали в Англию, моя дочь решила поступать в grammar school — это школы, которые выше по уровню, чем обычные, туда надо сдавать экзамены. Когда она начала готовиться, вот за что мы не боялись, так это за математику — ребенок с 1 класса ходит в математические кружки и в московской школе учился успешно. И каково же было наше изумление, когда пробный тест она решила дай Бог на 40%. Остальное она просто не знала, в московской программе за 6 класс не было таких тем. У британских школьников очень широкий математический кругозор.
Английские дети идут в школу в 4 года и сразу начинают заниматься математикой, конечно, в игровой форме: делят пиццу, раскладывают кубики Lego. В 6 лет они уже работают с дробями, они уже знают, что половина — это и 50%, и 1/2, и угол 180 градусов. И для них это все не абстрактные понятия — они все руками пощупали, поделили, исследовали, они поняли, как это устроено. Это не остается какой-то абстракцией, поэтому не забывается потом. В Британии, как и в Америке и Сингапуре, математика очень практичная, из реальной жизни. Есть участок, надо рассчитать, каким будет забор вокруг него, посчитать монеты в кошельке, вычислить размер скидки, перевести деньги из одной валюты в другую.
У нас детей учат брать интегралы, про которые они, выйдя из школы, сразу забудут, и решать примеры с девятью действиями — такого в других школах нет. Зато решить простейшую бытовую задачу: как рассчитать количество краски, чтобы покрасить стены, — не учат. И это одна из главных проблем российского подхода: математика в школе слишком академическая, не имеет отношения к жизни, вместо того, чтобы достаточно времени уделить визуализации и поиграть, сразу переходят к решению примеров.
Еще одна очень хорошая черта британской математики — темы проходят из года в год, каждый раз на более высоком уровне. У нас же считается, что если в 5 классе прошли дроби, значит, ребенок все понял и запомнил. В результате пробелы расширяются, непонимание растет как снежный ком — в 8-9 классе оказывается, что ребенок вообще не понимает, что это такое.
а вот примеры сингапурские дети не решают — все дроби, проценты и части учат через задачи
Математическое образование в США довольно сильно отличается от британского, прежде всего наличием учебника и довольно больших домашних заданий. Сам подход при этом такой же: темы изучаются несколько лет, каждый раз все глубже и глубже, все очень наглядно, задачки тоже в основном практические, интересные и достаточно сложные.
Сингапурская система использует так называемый эвристический подход к решению, идет от частного к общему. Сначала дети решают очень много практических задач, не изучая теорию, потом, основываясь на этом опыте, ребенок обобщает и делает выводы. При этом уравнения для решения задач не пишут, а рисуют схемы. Много заданий на логику, которые у нас дают в математических кружках, а вот примеры сингапурские дети не решают — все дроби, проценты и части учат через задачи.
Что касается финской школы, то я могу сказать, что математика там практически отсутствует. У меня есть ученик, ему 13 лет — он никогда в жизни не решал задачи, только примеры. Очень скудный набор тем, при этом и счетные навыки у них не развиты. Учебники слабые, 7 класс соответствует уровню примерно 4-5 класса Британии и России, при том что по возрасту это 7 российский класс и 9 британский. Если наша школьная математика, на мой взгляд, неоправданно сложная, в ней много академической мишуры, которая не дает реальных знаний, ее цель — высокий результат, то финская — неоправданно слабая.
почти у всех моих учеников я наблюдаю огромный страх перед ошибками
Вообще, если честно, меня удивляет такое восхищение финской образовательной системой. Все, что сейчас выдается за какие-то революционные, прогрессивные открытия, в британской школе работает уже больше 20 лет — серьезная реформа образования здесь проводилась в 90-е годы. Здесь тоже нет четкого расписания, давно уже ведется межпредметное обучение, когда изучается явление целиком, с точки зрения разных дисциплин. Например, несколько лет назад таким явлением была война в Сирии — 10-летние дети изучали суть конфликта с точки зрения географии, истории, религии и так далее. Они читали газеты и потом сами писали новости, таким образом тренируясь в оттачивании журналистского стиля. Они учились верстать и выбирать фотографии. Какой это был предмет? Точно так же проходят, например, Древнюю Грецию — они учат греческий алфавит, рисуют амфоры, идут в музей, ставят спектакль в стиле античного театра и так далее. Здесь тебе и история, и драма, и рисование (а это важные предметы, по ним даже можно сдавать выпускные экзамены).
Практически у всех моих учеников я наблюдаю огромный страх перед ошибками. Даже не перед ошибками, а перед неуспехом. Разные страны, разные школьные системы, а проблема общая. Вот математическая задачка, которая отлично передает эту проблему: «За одну решенную задачу дают 4 балла, за одну неправильно решенную снимают 2 балла, за нерешенную дают 0 баллов». Так и есть в школе, а должно быть наоборот — попытку решить нужно поощрять.
Но у нас в школе отрицательная мотивация давит со страшной силой: с ее постоянными оценками, где снижают баллы за то, что клетку не отступил, за помарки, за чистописание. Школа сразу набрасывается со своими правилами, ребенок понимает, что детство кончилось, что учиться очень сложно, лучше я вообще ничего делать не буду. Исследовательская деятельность зарублена на корню, никакого желания, интереса нет. Если дети не видят решения задачи сразу, то, скорее всего, и не попробуют ее решить, они ждут подсказки, одобрения каждому действию. Я учу детей спорить со мной, не бояться ошибиться. И это получается далеко не сразу.
7 способов помочь младшему школьнику с математикой
Предположим, что математика уже в начальной школе ребёнка идёт туго, со скрипом. Трудно и скучно складывать и вычитать, не говоря уже о чём-то более сложном. Новые темы никак не хотят укладываться в голове. Писательница и мама троих детей Ксения Букша рассказывает, основываясь на собственном опыте, как помочь ребёнку освоить математику.
Раскладываем трудности по полочкам
На уровне 1–5-го классов неспособных к математике детей не бывает. Но бывают дети с конкретными трудностями, которые можно и нужно преодолеть. Подумаем, почему ребёнку трудно с математикой.
Вот возможные варианты или их комбинации.
Как видим, математика раскладывается на множество разных навыков. Когда мы выяснили, в чём проблема, мы можем её решать. Заранее прошу прощения у учителей и методистов: я всего лишь родитель, а мои мысли по этому поводу — всего лишь частное мнение, хотя я стараюсь его обосновывать.
Ждём, пока созреет способность абстрактно мыслить
Мозг нейротипичного ребёнка дозревает до абстрагирования и обобщения далеко не сразу. У некоторых это происходит раньше, у других позже. Например, не все дети могут соотнести число и количество. Для очень многих и во 2–3-м классе есть только «15 яблок», а просто «15» нет.
При этом они как-то привыкают оперировать числами, и пробел в базовом понимании не очень заметен, пока речь не заходит о чуть более сложных вещах. Например, именно им трудновато понять, почему не может быть «полтора» в ответе на вопрос «сколько землекопов?». А уж когда начинаются проценты или задачи на скорость и расстояние, становится совсем сложно.
Стоит вернуться назад к конкретике. Возможно, для понимания дробей пока нужно проговаривать «в числителе арбузы, в знаменателе мальчики; 21 арбуз достался 42 мальчикам — каждому по половинке арбуза». Даже в пятом классе почти все концепции ещё можно заземлить до конкретики.
Развиваем навыки счёта
Просто учиться считать — это скучно. Нам помогут всевозможные игры с числами. Для начала — усложнённые ходилки с 2–3 кубиками (когда за один ход максимум — 18 очков, а не 6), потом — разнообразные игры в кости, где нужно считать очки.
Самая простая игра известна мне под названием «единичка»: игроки по очереди бросают один кубик (или два, или три), пытаясь добраться до сотни очков. Серия прерывается, когда у игрока выпадает хотя бы одна единичка: в этом случае очки за эту серию сгорают, и нужно уметь остановиться вовремя.
Очень рекомендую покер на костях. В этой игре есть ряд комбинаций, каждую из которых надо выбросить за три попытки. Эти попытки можно копить. Игроки делают ходы по очереди, выигрывает тот, кто первым выполнит все комбинации. Помимо простого навыка складывания очков, покер постепенно развивает тонкое понимание случайности и вероятности, просчитываемого риска и шансов. В такой покер может научиться играть даже шести- или семилетка.
Для отработки деления и умножения мы с дочкой говорили о числах как о «родственниках». Например, у числа 72 очень большая «семья»: у него есть «детки» 24 и 36, есть «внуки» — 2, 3, 4, 6, 12, 18. А вот число 37 не завело себе никакой «семьи», оно простое. Зато если «поженить» его с другим «одиночкой» — 41, у них получится вместе 78, теперь можно «заводить детей и внуков». Это хорошо помогает ориентироваться в таблице умножения.
Учим видеть и наглядно обобщать задачу
Чтобы хорошо схематизировать, надо уметь выделять именно то, что важно для условия задачи, и схематично изображать это на картинке. Сначала мы учимся выделению главного. Это знаменитые игры «что лишнее?», в которых может быть и несколько ответов. Арбуз, аист, абрикос, виноград — что лишнее? Смотря по какому признаку.
В учебнике Петерсон есть чудесные задачи, загромождённые кучей ненужных данных или лишённые необходимых условий. В задании автор просит найти и выделить только те условия, которые нужны для решения, а если их нет — указать, чего не хватает. Научившись видеть задачу, можно перейти к схематизации.
Математика по Петерсон: 7 вопросов о системе, которую выбросили из школьной программы
Многие дети вообще не понимают, зачем рисовать схемы к задачам и почему это проще. Всё потому, что схемы эти даны готовыми. Но по какому принципу они строятся? Почему, например, неважно, какой длины сам поезд, если он едет из А в Б? Как нарисовать «3 часа»? А «все груши, посаженные мальчиками»?
Можно вместе рисовать схемы разных задач, а потом предлагать ребёнку придумывать похожие. Такие задания есть и в учебниках, но там их мало. Для некоторых эта трудность вообще определяет все отношения с математикой, да и вообще с упорядочиванием данных, абстрагированием, обобщением, поиском решения.
Оттачиваем логику
Логика — один из инструментов, которые нужны всем. Нет людей, которые были бы не склонны к логике, есть те, у кого она «не поставлена». Это как умение орудовать шуруповёртом: научиться может каждый, у кого есть руки. Вы можете сами оценить, насколько железная у вас логика. Я очень люблю вот этот чудесный тест.
Человека с логикой не способна заморочить никакая пропаганда или реклама, его не запутает недобросовестный банк, он гораздо лучше ориентируется в окружающем мире.
С детьми можно начать с простых силлогизмов, которые иногда звучат смешно, но приводят к пониманию очень важных штук. Например, услышав от кого-нибудь сентенцию «мальчики не плачут», ребёнок может уточнить: «некоторые или все?»
Если дети не проходят понятие множества, стоит хоть немножко вместе с ним порисовать «кружочки» (не обязательно сразу вводить все понятия) и порешать соответствующие задачи: вот мальчики, вот коты, а вот те, кого зовут Вася. Где мальчики, которых зовут не Вася? А где тут девочки? А где кот Барсик?
Развиваем воображение
Воображение необходимо для всего, что связано с математикой и логикой. (Я даже не пишу «как ни странно», потому что это совершенно не странно.) Особенно умение мыслить образами.
Я очень люблю игру, в которой родитель и ребёнок по очереди задают друг другу «графические загадки», не имеющие точного ответа. Каждый рисует серию непонятных геометрических фигур или их комбинаций (точка в треугольнике, молния и круг, несколько кругов, касательные…), а другой дорисовывает их так, чтобы получилась картинка. Чем остроумнее решение, тем больше удовольствия получают оба игрока.
Ребёнок не умеет считать и определять время? Возможно, у него дискалькулия
Существует много древних и новых игр, в которых нужно складывать узоры из деталей и фрагментов яйца (колумбово яйцо), квадрата, по-разному раскрашенных граней кубика («Сложи узор»). Есть и трёхмерные наборы, например «Пентамино». Речь не о том, чтобы выполнять задания, хотя все эти наборы можно использовать и так, но именно о творчестве из имеющихся деталей и об умении увидеть образ.
А можно ещё вырезать снежинки, дорисовывать симметричных бабочек и человечков, придумывать шифры, рисовать лабиринты и карты. Всё это и есть развитие математического воображения.
Учим ребёнка вычленять, чего конкретно он не понимает (метакогниция)
Я уже не раз писала про неё — и в связи с математикой, и в связи с сочинениями. Вкратце метакогниция — это умение «понимать, как я думаю», «знать, чего именно я не знаю», осознание своего мыслительного процесса. Именно этому почти никогда не учат в школе, а иногда даже портят уже развитую способность. Предполагается ведь, что есть простые и сложные способы решения той или иной задачи. Часто это так и есть, но порой гораздо ценнее умение идти самому и по шагам проверять себя: «Так нужно делать? Я прав?»
Совместные рассуждения (и я не про математику) ценны и тем, что сближают ребёнка и родителя, и тем, что мы показываем, как проходит процесс думания. Он не должен быть гладким и автоматическим. В нём есть тупики, неожиданные повороты. «Наше первоначальное предположение неверно, а это значит, что нужно идти не по дороге 1, а по дороге 2». Кстати, это пригодится и в школьной математике, когда нужно будет понимать доказательства теорем. Ведь хорошо запоминается только то, что прошёл сам своим умом, когда смог повторить чужие рассуждения и знаешь в них каждый поворот.
Как самому выучить математику?
Простой 3 комментария
TimeSoundzzz: Полностью согласен!! И большая часть этой борьбы, это борьба с самим собой.
Вы только представьте, насколько абсурдно звучит ваше умозаключение, что раз не освоил до сих пор, то уже не освоит никогда.
Вот вы владеете, к примеру, испанским языком? Ну тогда, по вашей логике, спешу вас расстроить. Если он вам понадобиться, то вы его не сможете выучить и можете даже не пытаться.
У Шекли в «Четырёх стихиях» подобные товарищи описаны: «По воскресеньям и праздничным дням Кромптон изучал геометрию Эвклида, потому что верил в самосовершенствование.»
Ещё «сензитивный период» можете погуглить.
3й месяц делаю так:
прохожу в Khan academy математику с нуля
Interneturok.ru
Интернет урок начинал с 7го класса, сейчас уже на 9м.
Короч получается, если каждый день задротить, то за
Но в реальности программисту, кроме умения думать, нужно и воображение, и абстрактное мышление, отличная память, знание английского, и умение общаться; еще умение постоянно учиться, хорошая общая эрудированность и вкус и тд. А так же крепкое здоровье. Так- что не циклись на математике, это всего лишь часть большого целого.
Что не так со школьной математикой и почему надо учить логике
Математика — это интересная и увлекательная наука. К сожалению, не каждый школьник согласится с этим тезисом. Наш блогер, детский интеллектуальный тренер Кирилл Макеев, считает, что виной тому некорректное преподавание этого предмета в школе.
1. Школа нацелена на развитие навыка решения типовых задач, а не мышления
Любопытно, что это относится даже к топовым лицеям и гимназиям. Просто уровень сложности в таких заведениях выше. Проблема наработки навыка связана с тем, что представление о предмете в результате оказывается сильно смазанным.
Математика — наука дедуктивная, она о построении теории на основании аксиом с применением законов логики, которые описывают корректное мышление. Если решать примеры, в которых будут однообразно поставлены задачи и при решении будут использоваться однообразные методы, а доказательной базы не будет, в неограниченных количествах, то умение самостоятельно думать (хотя бы понимать суть предмета) не появится.
Короче, математика — это не о том, что происходит на уроках в школе. Мне жаль, очень жаль. Прости, математика!
2. Конечная цель — сдать ОГЭ/ЕГЭ
Этот пункт — продолжение предыдущего. Экзамены проверяют в основном «нарешенность» нескольких сотен однотипных задач. Каждый рядовой ученик на это способен, если не ленится. Хотите «5» за ОГЭ или 100 баллов за ЕГЭ?! Сэкономьте деньги родителей: просмотрите сотню видео на YouTube, «зарешайте» пару сотен задач каждого задания, дело в шляпе! Репетитор для решения «проблемы» не нужен!
Это я на всякий случай всем решил напомнить, что сложившаяся картина, в которой большую часть денег частные преподы и учебные центры зарабатывают на подготовке к экзаменам — неадекватна. Учащегося затем ждёт вуз и знакомство с реальной экономической ситуацией. В Питере средняя зарплата — 45 000 рублей. Как думаете, когда окупятся все траты на репетиторов и курсы, если речь идёт именно о подготовке к экзаменам и учёбе в вузе? Мне думается, что очень нескоро.
Как увлечь ребёнка математикой. Советует Людмила Петерсон
Если речь идёт о тренерстве, нестандартных занятиях, обучению самостоятельности и помощи в проработке и достижении целей, то тут совсем другое дело. Это, на мой взгляд, бесценно. Этими навыками обладает не много преподов в городе.
Итого: ЕГЭ и ОГЭ проверяют в среднем, прорешали ли сдающие горы однотипных задач во время 9 и 11 классов соответственно. Мне снова жаль, что это так работает.
3. «Быстрее, быстрее и ещё раз быстрее!»
Это не высказанный вслух лозунг-методика большинства школьных занятий, в том числе и математики. Главным оказывается успеть нарешать как можно больше примеров, пройти как можно больше тем, написать побольше работ. «Ну а знания, а знания — потом», — перефразировал я знаменитую советскую песню.
4. Учителя математики в школе не учат правильно, логически строго высказываться
В прошлом году у меня был хороший ученик-одиннадцатиклассник из 116-й гимназии, спасибо ему за большую придирчивость к моим словам. Вова научил меня быть внимательным к каждой букве, что я выговариваю, мы иногда до десяти вечера обсуждали решения задач по математике или физике, теорию и доказательства фактов или теорем.
До этого я, конечно, читал книжки по логике, даже улыбался, когда там писали, что примерно 20% высказываний всех людей на планете или принципиально некорректные с точки зрения логики, или неправильные, но за собой особенно не замечал неточностей. Год назад начал уделять большое внимание формулировкам и каждому конкретному слову в предложениях.
Рекомендую всем следить за любым употребляемым словом и задумываться: на своём ли оно месте? Тот ли оно имеет смысл, что хотелось донести? Истинно ли сделанное высказывание? Это дисциплинирует и учит быть последовательным и логичным. К сожалению, в школьной математике нет места обучению правильному говорению. Ну и ладно, ведь и у вас и у математики есть я!
Вы находитесь в разделе «Блоги». Мнение автора может не совпадать с позицией редакции.