Математика что такое смешанное число

Смешанные числа

Содержание

Знакомство со смешанными числами

А что будет, если мы будем делить на четверых 5 яблок?

Можно так же разрезать каждое яблоко на 4 кусочка, и каждый возьмёт 5 четвертинок. Но обычно делают не так.

Читается это как «Одна целая одна четвёртая». Подобную запись (целое число и дробь) называют «смешанной», а само число – «смешанным числом». Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной.

Выделение смешанного числа из неправильной дроби

Как думаете, из любой дроби можно сделать смешанное число?

Нет, только из неправильной дроби. В правильной дроби просто «не хватает» долей числа на то, чтобы из них получилась целая часть.

Нужно разделить 11 на 5, 11 на 5 не делится, берём ближайшее число – 10.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:
1) разделить числитель на знаменатель
2) если деление произошло без остатка, результатом будет целое число, если же деление прошло с остатком, то неполное частное будет целой частью. Остаток становится числителем, а делитель – знаменателем дробной части.

Превращение смешанной дроби в неправильную дробь

А если нам нужно, наоборот, превратить смешанную дробь в неправильную?

Сначала нам нужно представить целую часть в виде дроби с таким же знаменателем, как у дробной части, а потом сложить получившуюся дробь с дробной частью.

Разберём на примере.

Чтобы представить смешанное число в виде дробной части, надо:
1) умножить целую часть дроби на знаменатель дробной части
2) прибавить получившееся произведение к числителю дробной части. Знаменатель оставить без изменения.

Буквами это можно записать так:

Лена, Марина и Никита делили несколько шоколадок поровну: каждому дали по шоколадке, а оставшуюся лишнюю разделили на 3 части. Но Никита сказал, что шоколадки-то одинаковые по размеру, но что, если они все с разными вкусами? Честнее и интереснее будет разломить каждую шоколадку на 3 части, а потом каждый возьмёт себе равное количество частей.

Можете сказать, сколько частей шоколадки было у каждого? А сколько всего частей шоколадок у них получилось? И сколько целых шоколадок было в начале?

Получается, что каждый взял по 4 части.

А когда шоколадки разломили на кусочки, сколько получилось?

То есть у них получилось 12 третьих частей шоколадки.

Источник

Смешанные дроби или смешанные числа.

Смешанные дроби в математике можно получить одним из способов, например, из неправильной дроби или путем сложения дробей и еще много вариантов, когда вы сможете столкнуться со смешанной дробью.

Как сделать из неправильной дроби правильную дробь?

Рассмотрим неправильную дробь \(\frac<21><9>\)

Дробная черта — это деление, поэтому число 21 поделим на 9 столбиком.

После деления столбиком у нас появились неполное частное, его записываем в целую часть дроби. Остаток записываем в числитель, а делитель записываем в знаменатель.

Получаем дробь \(2\frac<3><9>\), такие дроби называются смешанными. В этой смешанной дроби число 2 – целая часть, а \(\frac<3><9>\) – правильная дробь.

Смешанные дроби состоят из целой и дробной части.

Рассмотрим еще одну неправильную дробь \(\frac<76><5>\)

Разделим ее столбиком:

Получили смешанную дробь \(15\frac<1><5>\)

Как смешанную дробь перевести в неправильную дробь?

Чтобы из смешанной дроби сделать неправильную дробь нужно знаменатель умножить на целую часть и сложить с числителем, получим числитель неправильной дроби. А знаменатель остается без изменения. Рассмотрим пример:

Вопросы по теме:
Смешанная дробь может быть меньше единицы?
Ответ: нет, потому что смешанную дробь можно представить в виде неправильной дроби, а неправильная дробь всегда больше или равна единицы.

Что показывает целая часть у смешанной дроби?
Ответ: целая часть показывает сколько полных знаменателей содержит дробь.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Ответ: к произведению знаменатели и целой части прибавить числитель получим числитель искомой неправильной дроби, а знаменатель не меняется.

Как перевести неправильную дробь в смешанное число? И как выделить целую часть?
Ответ: делим в столбик числитель на знаменатель, неполное частное – это целое, делитель – это знаменатель, а остаток – это числитель. Смотрите пример выше.

Что такое смешанные дроби или смешанные числа?
Ответ: Смешанные дроби – это числа, которые состоят из целой и дробной части.

Пример №1:
Представьте дробь в виде смешанного числа: \(\frac<508><17>\)

Решение:
Разделим дробь столбиком:

Ответ: Получили смешанную дробь \(29\frac<15><17>\)

Пример №2:
Представьте число в виде неправильной дроби: а) \(9\frac<2><3>\), б) \(1\frac<3><7>\)
Решение:
а) \(9\frac<2> <3>= \frac<9 \times 3 +2> <3>= \frac<29><3>\\\\\)
б) \(1\frac<3> <7>= \frac<1 \times 7 +3> <7>= \frac<10><7>\\\\\)

Задача №1:
Миша готовился к экзамену. За месяц он решил 120 задач. За первую неделю Миша решил \(\frac<2><5>\) от этого числа. Сколько задач решил Миша за первую неделю?

Решение:
У нас есть дробь \(\frac<2><5>\), знаменатель равен 5 это значит, что общее число 120 надо разделить на 5 и получим сколько составляет одна часть.
\(120 \div 5 = 24\) задачи это одна часть или \(\frac<1><5>\)
В числителе стоит 2, значит нам надо взять две части, поэтому 24 умножаем на 2.
\(24 \times 2 = 48\) задач
Ответ: за неделю Миша решил 48 задач.

Источник

Многие ученики, когда подходит время изучать смешанные числа в 6 классе, сомневаются, что подобные вычисления пригодятся им в жизни, в особенности в наше время, когда можно при необходимости воспользоваться калькулятором.

Однако в быту подобными выражениями мы пользуемся чаще, чем может показаться на первый взгляд: при измерении времени, в рецептах блюд, дозировках лекарств и так далее.

Что такое смешанное число

Под смешанным числом понимают сумму натурального числа и обычной дроби, записанную без знака «+».

Где 4 ― это целая, а 5/7 ― дробная часть.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби

Этот пример наглядно показывает, что смешанное число можно превратить в неправильную дробь. Это преобразование можно выполнить за несколько шагов:

Данные вычисления можно выразить и в более короткой формуле:

Как выделить целую часть неправильной дроби

Чтобы совершить обратную операцию и превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно сначала выделить её целую часть. Она будет равна результату деления числителя на знаменатель.

Если поделилось без остатка, значит больше никаких действий выполнять не нужно.

Если поделить без остатка не получается, то для завершения преобразования в смешанное число, остаток следует вынести в числитель. Знаменатель остаётся тем же.

Как перевести смешанную дробь в десятичную

Так как подобную процедуру часто приходится проделывать не только в школе, выполняя математические задания и решая различные уравнения, но и в повседневности, ― умение проделывать это легко и быстро может оказаться очень полезным.

Для перевода необходимо:

Таким образом, чтобы преобразовать 5 3 /₅, нужно:

Как сократить смешанную дробь

При сокращении целая часть не трогается, изменениям подвергается только дробная. Чтобы сократить её, нужно:

Например, чтобы сократить 7 6 /₉, необходимо:

Сложение смешанных чисел

Чтобы осуществить сложение, нужно необходимую операцию проделать отдельно для целых и отдельно для дробных частей. А получившиеся результаты сложить.

Например, чтобы решить следующий пример

Вычитание смешанных чисел

Для вычитания вычисления аналогичны. Следующую задачу

следует решить так:

Как умножать смешанные числа

Чтобы перемножить смешанные числа, необходимо:

Для примера решим следующее задание:

Заключение

Происхождение чисел сложно точно проследить. Известно только, что человек стал пользоваться ими с самых седых времён. История дробей также берёт своё начало в глубокой древности: подобными понятиями оперировали уже в древнем Египте.

Сегодня просто невозможно представить нашу жизнь без них. Все современные научные достижения, на которых основано наше общество, были бы попросту неосуществимы, не говоря уже о том, что значительно усложнилась бы наша повседневная жизнь. Вот почему так важно знать, что они собой представляют.

Источник

§ Смешанные числа. Целая часть дроби. Правильные и неправильные дроби

Основное свойство дроби

Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:

— числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.

Это очень важное свойство — запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.

Видео

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Вычитание дробей

Эта операция проводится аналогично сложению. Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно найти разность их числителей, а знаменатель оставить тем же.

Пример:

Задание:

Выполни вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

Для дробей с разными знаменателями также придется найти наименьшее общее кратное и дополнительные множители. Затем, по аналогии со сложением, произвести вычитание.

Пример:

6/7 — 8/10 = (6*10-8*7) / 70 = (60-56) / 70 = 4/70

Задание:

Выполни вычитание дробей с разными знаменателями:

Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на .

Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь

Выражение можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

Пример 2. Найти значение выражение

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Арифметические действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание дробей

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!

Общий случай сложения (вычитания) дробей.

Умножение дробей

Деление дробей

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.

При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Алгоритм превращения

Переводить неправильную дробь в правильную или выполнять обратную операцию просто, если следовать алгоритму. Так как сделать это напрямую нельзя, то фактически получится преобразование в запись, содержащую целую и дробную часть.

Превратить неправильное выражение в смешанное можно по следующему алгоритму:

Это упрощённый способ, быстро позволяющий выполнить перевод числа из одной формы в другую. Математическое равенство, описывающее это правило, будет выглядеть так: n a/b = ((n * b) + a)/b.

Чтобы преобразовать дробь по всем правилам, нужно сделать следующее. Так как смешанное отношение, по сути, является суммой целого и части, понадобится просто выполнить сложение. Для этого первое слагаемое представляют как неправильную дробь. Сделать это можно, разделив целое на единицу. Затем действуют по правилу сложения дробей, то есть находят общий знаменатель, дополнительные множители, выполняют складывание в числителе: n a/b = n/1 + a/b = ((n *b) + a)/b.

Из неправильной формы записи получить обычную дробь можно также через смешанную. Другими словами, представить выражение как сумму натурального числа и правильного отношения. Для этого необходимо выполнить 3 шага:

На самом деле выполнять деление числителя на знаменатель часто довольно сложно, поэтому поступают следующим образом. Делимое представляют в виде суммы дробей, но таким образом, чтобы деление одной из них можно было выполнить без остатка, то есть, m / n = (k + c) / n = k / n + c / n. Где целое число k / n, а c / n правильная дробь.

Нужно отметить, что некоторые выражения можно превращать в другую форму, не записывая поочерёдно действия, а выполняя все преобразования в уме. Но на начальном этапе рекомендуется весь процесс расписывать пошагово, пока не будет получен необходимый опыт. А только уже после переходить к переводу в уме.

Популярное

Навыки 15 декабря 2019

Математика 26 августа 2019 Найди закономерность Закономерность — это регулярные устойчивые взаимосвязи в количествах, свойствах и явлениях объектов. В математической закономерности нужно найти алгоритм, согласно которому в цепочке чисел происходит их повторение, изменение или замещение в соответствии с установленным правилом.

Любовь к учебе 6 сентября 2019 Как решать ребусы? Разгадывание ребусов – отличное времяпровождение для любителей всевозможных головоломок и загадок. Это захватывающий процесс, суть которого заключается в том, чтобы расшифровать слово, фразу или предложение с помощью картинок и символов-подсказок: цифр, букв, запятых и прочих знаков.

Источник