Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Разрывы монотонной функции

Доказать, что число разрывов монотонной функции не более чем счетно.

Не знаю даже как подступиться.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 13.04.2014, 18:26, всего редактировалось 2 раз(а).

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 13.04.2014, 18:36, всего редактировалось 2 раз(а).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось provincialka 13.04.2014, 18:31, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Alex Sominsky 13.04.2014, 19:05, всего редактировалось 1 раз.

Понял, спасибо. Как просто!

Но снова появились сомнения. Ведь тоже самое можно сделать и для перекрывающихся интервалов.

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Про счетные множества

Я понимаю,что есть счетное множество(т.е. можно осуществить биекцию на множество натуральных чисел или биекцию на счетное множество),мощность континуума(множество,эквивалентное [0,1] или эквивалентное мн-ву мощности континуума).
А задачи решить не представляю как:
1)Доказать,что мн-во всех монотонных функций f(x),заданных на [a,b],имеет мощность континуума.
2)Доказать,что мн-во точек ,имеет мощность континуума.
3)Доказать,что мн-во точек разрыва монотонной функции f(x) не более,чем счетно.
4)Доказать,что мн-во точек строгого локального максимума произвольной функции f(x),x из [a,b],не более чем счетно.
5)Доказать,что объединение континуума множеств мощности континуума имеет мощность континуума.
6)Доказать,что мн-во всех точек любого интервала (a,b) имеет мощность континуумаю
7)Доказать,что мн-во точек (x,y) единичного квадрата имеет мощность континуума.
8)Доказать,что проивольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.
9)Доказать,что произвольное мн-во точек на плоскости,расстояние между любыми двумя из которых превосходит фиксированное число a>0,не более чем счетно.
10)Доказать,что любая последовательность имеет континуум подпоследовательностей.
11)Доказать,что мн-во всех последовательностей непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
12)Доказать,что мн-во всех интервалов на прямой R имеет мощность континуума.
13)Доказать,что мн-во всех непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
14)Доказать,что мн-во всех чисел,являющихся корнем какого-либо алгебраического многочлена с целыми коэффициентами,счетно.
15)Доказать,что мн-во точек разрыва первого рода функции f(x) имеет мощность континуума.
16)Доказать,что мн-во всех точек из все координаты которых рациональны,счетно.
17)Д-ть,что мн-во всех замкнутых подмножеств прямой R имеет мощность континуума.
18)Д-ть,что мн-во всех счетных подмн-в мн-ва мощности континуума имеет мощность континуума.
19)Д-ть,что мн-во всех конечных подмн-в счетного мн-ва счетно.
20)Д-ть,что мн-во всех интервалов (a,b) с рациональными концами a,b счетно.
21)Д-ть,что проивольный надор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.

Супермодератор

Ну и что, Вы хотите, чтобы мы все сели и написали Вам решения всех этих задач, да еще и с учетом многообещающего «и т.д.» в конце?

Напишите хотя бы свои соображения хоть по каким пунктам, чтобы можно было с чего-то начать.

Или для разгона докажите, что множество всех рациональных чисел счетно, равно как и пар рациональных чисел, и троек, и четверок и т.д. Это уже поможет решить некоторые задачи из списка.

Также обращаю внимание, что не всегда можно просто построить биекцию некоторого множества на множество, скажем, натуральных чисел, но можно построить биекцию на его подмножество (т.е. закодировать элементы множества различными натуральными числами, но при этом некоторым числам не будет поставлено в соответствие ни одного числа), и этого также достаточно для того, чтобы показать счетность.

Супермодератор

Ну и когда Вы с этим разберетесь, то получите решение задач 16 и 20 из списка.

И еще раз: хотелось бы получить от Вас хоть какие-то соображения по хоть каким-то из пунктов. Давать здесь готовые решения учебных задач не принято, это четко написано в объявлении в начале данного раздела.

Заслуженный участник

Супермодератор

— \infty Woland а как?Мне вообще не понятно как доказывать.
14)Докажем,что биекция мн-ву натуральных чисел существует.Алгебр.ур-ие=декартово произведение ,где n-степень алгебр.ур-ия.Корни ур-ия-это объединение счетного мн-ва.
4)Все точки лок.максимума ф-ии f(x) на [a,b] можно занумеровать в порядке их следования (от a к b).Эти точки есть декартово произведение R на R.И аналог.пункту 17.
А больше я не знаю:подскажите вообще алгоритм какой-нибудь решения таких задач и парочку примеров из этих пунктов.А я попробую при Вас решить аналогично!

Супермодератор

4: неверно. Где Вы использовали условие, что это строгие локальные максимумы?

Для 3 используйте соображение, что если функция монотонна, то ее разрывы только первого рода, есть предел слева и справа. Между этими пределами на оси значений каждой точке резрыва сопоставляется некоторый интервал, причем интервалы для разных точек разрыва не пересекаются. В каждом интервале можно выбрать рациональную точку.

Добавлено спустя 5 минут 38 секунд:

Для 3 используйте соображение, что если функция монотонна, то ее разрывы только первого рода, есть предел слева и справа. Между этими пределами на оси значений каждой точке резрыва сопоставляется некоторый интервал, причем интервалы для разных точек разрыва не пересекаются. В каждом интервале можно выбрать рациональную точку.

Супермодератор

Супермодератор

1. Каждому интервалу сопоставлена рац. число.

2. Разным интервалам сопоставлены разные рац. числа.

Это значит, что установлено взаимно-однозначное соответствие между всеми указанными интервалами и некоторым подмножеством рац. чисел. Таким образом, мощность множества интервалов не может превосходить мощность множества рац. чисел. Более точно, множество интервалов равномощно множеству . Если конечно, то и интервалов конечно. Если же бесконечно, тогда оно счетно, т.е. и множество интервалов счетно.

Итог: множество интервалов не более чем счетно.

1)Идея: возьмите какую-нибудь монотонную функцию, и параллельным
переносом двигайте, её параллельно оси Y. Замете, что все они различны,
а множество точек интервала (0,1) равно континууму.
2)Это стандартная задача. Поищете на форуме, она здесь уже рассматривалась (и не однократно).

Добавлено спустя 21 минуту 19 секунд:

Насчёт 7. Можно действовать так: поскольку существует биекция
между (множеством всевозможных, бесконечных, двоичных
последовательностей) и . То необходимую нам биекцию
строим так: для двух бесконечных последовательностей
и ,где
принимают значения лишь нуль либо один. Формируем 3-ю
легко видеть,что построенное отображение
биективно. Значит множество точек квадрата() равномощно
отрезку [0,1]. Оставшихся же точек на квадрате т.е. таких,что какая либо
координата записывается лишь с конечным числом знаков после запятой не более чем счётно.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Вопрос 40. Теорема Больцано-Вейерштрасса о промежуточном значении непрерывной функции.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Если f непрерывная на отрезке [a,b] (fÎc[a,b]), f(a)=A, f(b)=B, то для «С заключенного между А и В, существует такая точка ξÎ[a,b], что f(ξ)=С.

Доказательство. Пусть для определенности f(a)=A

Вопрос 42. Теорема о мощности множества точек разрыва монотонной функции.

Теорема. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно (т.е. либо конечно, либо счетно).

Доказательство. Каждой точкой разрыва функции свяжем интервалы не содержащие значения функций, эти интервалы не пересекаются, но на прямой может быть не более чем счетное множество непересекающихся интервалов. Действительно в каждом из них можно выбрать по рациональной точке, и тогда множество интервалов окажется

подмножеству счетного множества рациональных чисел. Значит оно само не более чем счетно. Вместе с ним не более чем счетно и множество точек разрыва монотонной функции.

Вопрос 43. Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема. Функция f:[a,b]®R , монотонная на [a,b], непрерывная на нем тогда и только тогда когда множество f([a,b]) ее значений само является отрезком с концами f(a) и f(b).

Доказательство. Пусть f– непрерывная, монотонная функция, ввиду монотонности все ее значения f(x), xÎ[a,b], лежат между f(a) и f(b). Ввиду непрерывности f обязана принимать также и все промежутки между f(a) и f(b) значения. Таким образом f([a,b]) есть отрезок с концами f(a) и f(b).

Обратное. Пусть f монотонна на [a,b], если fразрывна в некоторой точке x₀, то по сл.1 $ интервал не содержащий значений функции f, но содержащийся в силу монотонности в отрезке с концами f(a) и f(b), возникло противоречие, с тем что по условию f([a,b]) это отрезок с концами f(a) и f(b).

Дата добавления: 2018-08-06 ; просмотров: 534 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

08. Примеры равномощных множеств

Приведенные выше примеры и теоремы показывают, что установить равномощность различных множеств далеко не просто. В этом параграфе мы рассмотрим примеры построения биекции между различными множествами. Будут приведены примеры доказательств равномощности ряда множеств.

Пример 1. Установить биекцию между отрезком [0, 1] и отрезком [а, в].

Решение. Легко устанавливается биективность линейного отображения x = (в – a)t + a отрезка [0, 1] на отрезок [а, в].

Пример 2. Установить биекцию между интервалом (0, 1) и интервалом (–¥, +¥).

Решение. Легко устанавливается биективность отображения x= ctg(pt) интервала (0, 1) на интервал (–¥, +¥).

Задача. Рассмотреть основные элементарные функции и найти промежутки, на которых они являются биективным отображением.

Пример 3. Построить биекцию между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1).

Решение. Решение этой задачи основано на несчетности рассматриваемых множеств и теореме 4 из параграфа 6. Идея решения состоит в том, что из интервала (0, 1) выделяют некоторое счетное множество А. Затем к нему добавляют две точки <0>и <1>. Вновь полученное множество (обозначим его В Ì [0, 1]), также является счетным. Следовательно, множества А и В равномощны и существует биекция f, отображающая B на A. Построим теперь биекцию отрезка [0, 1] на интервал (0, 1) следующим образом:

Пример 4. Построить биекцию между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1].

Схема решения. Легко устанавливается биекция между точкой окружности и углом, соответствующим этой точке. Этим получается биекция окружности и полуотрезка [0, 2p). Затем по схеме примера 3 строится биекция полуотрезка [0, 2p) на отрезок [0, 1].

Пример 6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке [а, в], конечно или счетно.

Источник

Теория функций действительного переменного/Теория дифференцирования

Содержание

Монотонные функции [ править ]

x_<1>,x_<2>. x_. > ,

и для каждой из них определено положительное число h n <\displaystyle h_> , причём сумма

Очевидно, что построенная функция является монотонной неубывающей и непрерывной слева. Можно образом построить аналогичную невозрастающую функцию, для этого достаточно потребовать, чтобы все h n <\displaystyle h_> были отрицательными.

Множество точке разрыва построенной таким образом функции совпадает с множеством < x n ><\displaystyle \\>> , причём скачок в точке x n <\displaystyle x_> равен h n <\displaystyle h_> .

Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций.

есть либо отрезок, либо полуинтервал, либо пустое множество, отсюда и следует измеримость функции.

Для монотонно невозрастающих функции доказывается аналогично.

Свойство 2. Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода.

Построим последовательность значений функции

Свойство 3. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно.

Произведя суммирование по всем натуральным числам, получаем, что количество скачков конечно или счётно.

Свойство 4. Всякую монотонную функцию, непрерывную слева, можно представить в виде суммы непрерывной монотонной функции и непрерывной слева функции скачков, причём это представление — единственно.

Функции с ограниченным изменением [ править ]

∑ i = 1 n | f ( x i ) − f ( x i − 1 ) | ≤ M <\displaystyle \sum _^|f(x_)-f(x_)|\leq M> .

∑ i = 1 n | f ( x i ) − f ( x i − 1 ) | <\displaystyle \sum _^|f(x_)-f(x_)|>

V a b [ f ] = sup ∑ i = 1 n | f ( x i ) − f ( x i − 1 ) | <\displaystyle V_^[f]=\sup \sum _^|f(x_)-f(x_)|>

называется полным изменением функции на числовой прямой и обозначатся

V a b [ α f ] = | α | V a b [ f ] <\displaystyle V_^[\alpha f]=|\alpha |V_^[f]> .

V a b [ f + g ] ≤ V a b [ f ] + V a b [ g ] <\displaystyle V_^[f+g]\leq V_^[f]+V_^[g]> .

Из свойств 1 и 2 следует, что функции с ограниченным изменением образуют линейное пространство.

V a c [ f ] = V a b [ f ] + V b c [ f ] <\displaystyle V_^[f]=V_^[f]+V_^[f]> .

Свойство 4. Если рассматривать полное изменение как функцию верхнего предела

то эта функция будет монотонно неубывающей.

будет непрерывна в этой точке слева.

Теорема. Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций.

Полное изменение функции V a b [ f ] <\displaystyle V_^[f]> обладает обладает свойствами 1, 3 и 4 нормы, но не свойством 2 (для всех постоянных функций полное изменение равно нулю). Рассмотрим функции с ограниченным изменением, удовлетворяющие условию

эти функции образуют линейное пространство, в котором полное изменение обладает всеми свойствами нормы. Это пространство обозначают V 0 [ a ; b ] <\displaystyle V^<0>[a;b]> .

Можно доказать, что функционал

обладает всем свойствами нормы в пространстве всех функций с ограниченным измерением, а само это пространство является полным.

Производная [ править ]

Источник