Что означает возвести число в квадрат
Урок 25 Бесплатно Степень числа. Квадрат и куб числа
На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.
Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».
Научимся вычислять квадрат и куб числа.
Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.
Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.
Степень числа
Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.
Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4
В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.
В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.
Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.
В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:
а— любое натуральное число.
Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».
Число а называют основанием (число, возводимое в степень).
n— это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).
Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.
Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.
Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:
4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4 5
Читают данную запись следующим образом:
4 5 — четыре в пятой степени.
Данная степень равна произведению трех двоек.
2— основание степени.
3— показатель степени.
Данная степень равна произведению четырех пятерок.
5— основание степени.
4— показатель степени.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Квадрат и куб числа
Вторую степень числа называют квадратом числа.
Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: а ∙ а = а 2 (говорят и читают «а в квадрате»).
2 2 (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».
10 2 (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».
27 2 (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».
Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.
Один в квадрате равняется одному: 1 2 = 1 ∙ 1 = 1.
Два в квадрате равняется четырем: 2 2 = 2 ∙ 2 = 4.
Три в квадрате равняется девяти: 3 2 = 3 ∙ 3 = 9.
Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 4 2 = 4 ∙ 4 = 16.
Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 5 2 = 5 ∙ 5 = 25.
Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 6 2 = 6 ∙ 6 = 36.
Семь в квадрате равняется сорока девяти: 7 2 = 7 ∙ 7 = 49.
Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 8 2 = 8 ∙ 8 = 64.
Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 9 2 = 9 ∙ 9 = 81.
Десять в квадрате равняется сотне: 10 2 = 10 ∙ 10 = 100.
Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.
Таблица квадратов первых десяти натуральных чисел
Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.
Решим уравнение х 2 = 49.
Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).
Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.
х 2 = 49
х = 7
Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х 2 = 49, получим:
7 2 = 49
7 ∙ 7 = 49
49 = 49
Ответ: х = 7.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чтобы возвести в любую степень число 10, необходимо дописать после единицы нули, количество которых показывает показатель степени.
Разберем пример первый.
Найдите четвертую степень десяти (десять в четвертой степени 10 4 ).
10— это основание.
4— это показатель степени.
Так как по вышеизложенному правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:
10 4 = 1 0000
На самом деле, если перемножить (по определению степени) четыре десятки, то получим:
10 4 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 0000
Пример второй: найдите третью степень десяти (десять в третьей степени 10 3 ).
10— это основание.
3— это показатель степени.
Так как по правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:
10 3 = 1 000
Соответственно, если перемножить (по определению степени) три десятки, то получим:
10 3 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 000
Рассмотрим обратную ситуацию:
Представим число 100 в виде степени с основанием 10.
Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 00 ).
Число 100 содержит два нуля, следовательно, это число в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:
1 00 = 10 2
10— это основание.
2— это показатель степени.
Рассмотрим еще один подобный пример.
Представим число 10000 в виде степени с основанием 10.
Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 0000 ).
Данное число содержит четыре нуля, следовательно, 10000 в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:
1 0000 = 10 4
10— это основание.
4— это показатель степени
Третья степень числа тоже имеет свое название.
Число в третьей степени называют кубом числа.
Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: а ∙ а ∙ а = а 3 (говорят и читают «а в кубе»).
2 3 (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».
10 3 (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».
27 3 (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».
Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.
Один в кубе: 1 3 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1.
Два в кубе: 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.
Три в кубе: 3 3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.
Четыре в кубе: 4 3 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64.
Пять в кубе: 5 3 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.
Шесть в кубе: 6 3 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216.
Семь в кубе: 7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 343.
Восемь в кубе: 8 3 = 8 ∙ 8 ∙ 8 = 512.
Девять в кубе: 9 3 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729.
Десять в кубе: 10 3 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000.
Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.
Таблица кубов первых десяти натуральных чисел
1000
С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.
Представим в виде куба число 343.
По таблице кубов видим, что 343 = 7 3
Проверим: найдем произведение трех семерок:
7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 49 ∙ 7 = 343
На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.
Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.
Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.
Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.
За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.
Рассмотрим поясняющие примеры.
При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.
Пример 1.
Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.
Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).
1) 8 2 = 8 ∙ 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).
2) 64 ÷ 4 = 16
Пример 2.
Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.
Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.
Найдем разность 21 и 11.
Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.
Найдем, чему равно 10 2 по определению степени или по таблице квадратов.
2) 10 2 = 10 ∙ 10 = 100
Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.
Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.
3) 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
4) 100 ∙ 8 = 800
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
С давних пор основными арифметическими операциями являются операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Представление о степени, как об отдельной операции возникло не сразу.
Однако степени применялись при вычислении площадей и объемов уже у древних народов: степень числа высчитывали при решении различных задач в Древнем Египте, Древней Греции, в Вавилоне.
Диофант Александрийский древнегреческий математик, философ (III век н.э.) в своем знаменитом труде «Арифметика» описал первые натуральные степени чисел.
Диофант первым из античных ученых предложил специальные обозначения для шести степеней неизвестного (квадрат, куб, квадрато-квадраты, квадрато-кубы и т.д.)
Древнегреческий ученый Пифагор и его последователи (пифагорейцы) проявляли большой интерес к числам, искали в них скрытый смысл, закономерности и приписывали им различные свойства.
Пифагорейцы предполагали, что каждое число можно представить в виде фигуры.
Так, например, числа 4, 9, 16, 25 они представляли в виде квадратов.
В Древнем Вавилоне для вычисления и расчетов был создан целый ряд вычислительных таблиц: таблицы умножения, таблицы квадратов и кубов и многие другие.
В Древней Индии успешно развивалась наука.
Высоких результатов индийцы добились в астрономии, медицине, математике.
Индийские ученые часто оперировали большими числами.
В Древней Индии существовало понятие степени числа, математики того времени умели вычислять площади и объемы фигур, разработали алгоритмы вычисления всех арифметических операций, в том числе определение степени числа.
Важнейшим открытием индийских ученых в математике стало изобретение позиционной системы счисления, а также запись (чтение) чисел, для каждой цифры был придуман свой знак.
Математические труды их были изложены в основном в словесной форме на древнеиндийском языке в священных писаниях, книгах, сказаниях.
Потребность в решении более сложных математических задач со степенями заставляла ученых разных стран расширять понятие о степени, систематизировать и обобщать известные уже данные о ней.
В начале XV века самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид Аль-Каши рассматривал нулевой показатель степени, в это же время французский ученый Никола Шюке применял в своих трудах нулевой и отрицательный показатель степени.
В 1544 г. немецкий математик Михаэль Штифель в своей книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие «Показатель степени».
Постепенно понятие степени становится все шире, оно применяется не только к числу, но и к переменной.
Математики средневековья пытались установить единое обозначение степени и сделать ее компактней.
Французский ученый математик Франсуа Виет ввел буквенное обозначение (N, Q, C) для первой, второй и третьей степени.
Нидерландский математик Симон Стевин предложил называть степень по их показателям, отвергая тем самым словесные обозначения степеней, составленные Диофантом.
Современное обозначение степеней (а n ), где а-основание степени, n-показатель степени, ввел французский математик Рене Декарт.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Что означает возвести число в квадрат
Введение.
Математика – очень древняя наука. Многие понятия, правила, законы, формулы уже известны давно, и открыть что-то новое, просто невозможно. Всё равно на уроке математики мы открываем для себя новые знания. Из года в год наши знания увеличиваются. Например, при изучении темы «Степень» узнали, что произведение одинаковых множителей можно записать, как степень данного числа. Так мы познакомились с квадратом и кубом числа.
Устно возводить в квадрат однозначное число легко, для этого надо знать всего лишь таблицу умножения. А как устно возвести в квадрат двузначное число, меня очень заинтересовало.
Умея это выполнять, мы откажемся от письменного умножения. Конечно, можно посмотреть в таблицу квадратов, но она не всегда под руками.
Цель проекта: Поиск приёмов быстрого возведения чисел в квадрат.
Задачи: 1) Познакомиться с историей возникновения степени числа.
2) Изучить приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
3) Вывести свой способ возведения чисел в квадрат.
4) Выбрать из всех самый оптимальный способ.
Гипотеза: Применение приёмов быстрого возведения чисел в квадрат облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учащихся. Возводить в квадрат легко и просто.
Объект исследования: приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
Методы исследования: Анализ литературы. Поисковый метод. Сравнение.
Актуальность проекта: Во все времена умение производить в уме различные вычисления вызывает восхищение, это отличное упражнение, позволяющее поддержать мозг в состоянии «боевой готовности»[1]. Освоение способов устного возведения чисел в квадрат усиливает интерес к математике, развивает внимание, мышление, память, эрудицию и математические способности.
История возникновения квадрата числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней[5].
В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский [2] описывает первые натуральные степени чисел так:
«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».
Прошло много времени и у Рене Декарта[3] в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а. Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а 2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.
Немецкий ученый Лейбниц[4] считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей и применял знак а 2 [5].
Приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
Учись считать быстро! Для овладения этим навыком любому человеку нужны:
Давайте познакомимся с некоторыми приёмами возведения в квадрат двузначных чисел, которые выполняются почти мгновенно[1].
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо умножить количество его десятков на следующее за ним число и приписать к произведению 25.
Возведение в квадрат числа, первая цифра которого равна 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, первая цифра которого равна 5, надо к 25 прибавить число единиц и приписать квадрат числа единиц.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно округлить число до десятков, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное при округлении.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 9.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 4.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 6.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.
Возведение в квадрат числа, близкого к 50.
а) Для чисел от 40 до 50 (числа пятого десятка). Опорное число – 15.
1) 44 2 = (15 + 4) · 100 + (50 – 44) 2 = 1900 + 36 = 1936.
2) 43 2 = 18 · 100 + 7 2 = 1800 + 49 = 1849.
3) 48 2 = 2300 + 4 = 2304.
б) Для чисел от 25 до 40 и до 50. Опорное число – 25.
1) 37 2 = (37 – 25) · 100 + (50 – 37) 2 = 12 · 100 + 13 2 = 1200 + 169 = 1369.
Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.
2) 28 2 = 3 · 100 + 22 2 = 300 + 484 = 784.
3) 46 2 = 2100 + 16 = 2116.
4) 39 2 = 1400 + 121 = 1521.
в) Для чисел от 50 до 60 (числа шестого десятка). Опорное число – 25.
1) 57 2 = (25 +7) · 100 + (57 – 50) 2 = 32 · 100 + 7 2 = 3200 + 49 = 3249.
2) 52 2 = 2700 + 4 = 2704.
г) Для чисел от 50 до 60 и до 75. Опорное слово – 25.
Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.
1) 58 2 = (58 – 25) · 100 + (58 – 50) 2 = 33 · 100 + 8 2 = 3300 + 64 = 3364.
2) 71 2 = 46 · 100 + 21 2 = 4600 + 441 = 5041.
Возведение в квадрат числа, близкого к 100.
97 2 = (97 – 3) · 100 + 3 2 = 9400 + 9 = 9409, где 3 – дополнение 97 до 100.
94 2 = (94 – 6) · 100 + 6 2 = 8800 + 36 = 8836.
Возведение в квадрат любого двузначного числа.
38 2 = (30 + 8) 2 = (30 + 8) · (30 + 8) = (30 + 8) · 30 + (30 + 8) · 8 = 30 · 30 + 8 · 30 +
+ 30 · 8 + 8 · 8 = 3 · 3 · 100 + 3 · 8 · 10 + 3 · 8 · 10 + 8 · 8 = 3 2 · 100 + 3 · 8 · 2 · 10 + + 8 2 = 9 · 100 + 48 · 10 + 64 = 964 + 480 = 1444.
Можно оформить решение так:
27 2 = 449 + 280 = 729.
84 2 = 6416 + 640 = 7056.
42 2 = 42 · 42 = (42 + 2) · 40 + 2 2 = 44 · 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764
78 2 = (78 + 8) · 70 + 64 = 86 · 70 + 64 = 6020 + 64 = 6084.
в) Метод «округления».
1) Для чисел, у которых цифра единиц больше 5:
47 2 = 47 · 47 = 50 · (47 – 3) + 3 2 = 50 · 44 + 9 = 2200 + 9 = 2209.
26 2 = 30 · 22 + 16 = 660 + 16 = 676.
1) Для чисел, у которых цифра единиц меньше 5:
73 2 = 73 · 73 = 70 · (73 + 3) + 3 2 = 70 · 76 + 9 = 5320 + 9 = 5329.
82 2 = 80 · 84 + 4 = 6720 + 4 = 6724.
г) Метод замены квадрата числа произведением.
29 2 = (29 – 9) · (29 + 9) + 9 2 = 20 · 38 + 81 = 760 + 81 = 841.
86 2 = (86 – 6) · (86 + 6) + 6 2 = 80 · 92 + 36 = 7360 + 36 = 7396.
54 2 = 50 · 58 + 16 = 2900 + 16 = 2916.
д) Метод понижения числа на единицу.
28 2 = (28 – 1) 2 + 28 + (28 – 1) = 27 2 + 28 + 27 = 729 + 55 = 784.
56 2 = 55 2 + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.
Минус этого приёма в том, что квадрат данного двузначного числа выражаем через квадрат числа на единицу меньше, который надо либо вычислять, либо снова понижать, и так до бесконечности.
Возведение в квадрат любого двузначного числа по методу Алины.
Приёмов возведения двузначных чисел в квадрат много и все они разные. Для каждой группы чисел надо знать своё правило, а удержать все правила в уме иногда невозможно.
Собирая материал для проекта, мне захотелось вывести свой приём быстрого возведения двузначного числа в квадрат.
Очень понравился приём возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Он быстрый и понятный. А можно ли этот приём применить для любого числа? Изучая литературу, я нигде этого способа не увидела. Применяя его для любых двузначных чисел, вот что у меня получилось.
Напомню: 35 2 = 3 · (3 + 1) · 100 + 5 2 = 1200 + 25 = 1225.
Возведём по этому способу в квадрат число 36.
Мы знаем, что 36 2 = 1296.
3 · (3 + 1) · 100 + 6 2 = 1200 + 36 = 1236, но 1236 1296. Число 1236 2 = 3 · 4 · 100 + 6 2 + 30 · 2 = 1236 + 60 = 1296.
Рассмотрим другие примеры.
56 2 = 5 · 6 · 100 + 6 2 + 50 · 2 = 3000 + 36 + 100 = 3036 + 100 = 3136.
46 2 = 2036 + 40 · 2 = 2036 + 80 = 2116.
Я много раз возводила числа в квадрат и увидела такую закономерность:
Пусть, например, надо возвести в квадрат число 39. Цифра 9 стоит на четвёртом месте от цифры 5, число 4 удваиваем, это будет 8, а теперь применяем приём:
39 2 = 3 · 4 · 100 + 9 2 + 30 · 8 = 1200 + 81 + 240 = 1281 + 240 = 1521.
240 можно представить так: 30 · 2 · 4, то есть десятки числа удвоить и умножить на номер места цифры единиц от цифры 5.
73 2 = 5609 – применяя приём возведения в квадрат для числа, оканчивающегося на 5. Но 5329 ≠ 5609.
х = 280, где 280 = 70 · 2 · 2, первая двойка удваивает число десятков в числе; вторая двойка обозначает номер места цифры 3 от цифры 5.
Эврика! Способ найден!
73 2 = 7 · 8 ·100 + 3 · 3 – 70 · 2 · 2 = 5609 – 280 = 5329.
Можно оформить решение и так:
Какой приём возведения двузначного числа в квадрат наиболее простой? Для себя я выбрала два приёма. Мне они оба понятные и несложные.
Какой приём выберите вы, думайте сами. Вам решать.
Заключение.
Владение приёмами быстрого возведения двузначного числа в квадрат даёт возможность выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит:
Считаю, что возводить двузначные числа в квадрат легко и просто. Гипотеза доказана.
Умение считать в уме остаётся полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.
Возможность обходиться без калькулятора и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это здорово[1]!